PDE-PDE串级渠道系统的控制与镇定问题研究

In this project, we will study the control design and stability analysis of Saint-Venant equations, which is a PDE-PDE coupled system in cascades and can depict the flow of water in open channels. It has long been an important and difficult topic in the field of control theory for distributed parameter system. Firstly, the system are rewriteen as an abstract evolution equation according to semigroup theory, and then, the system operator is proved to be dissipative by Lyapunov method, and we will calculate the parameters conditions. Secondly, based on the spectral analysis, we will establish the Riesz basis property of the canal system with a cascade of N pools, whether under subcritical flow condition or supercritical flow condition. Finally, we will take the “time-lag” effect of controllers into consideration in this research, propose a design idea about the new time-delay boundary feedback controller, analyze the parameter conditions, and construct the relations between the time-delay and stability.

本项目拟研究基于圣维南方程组的PDE-PDE串级耦合系统的控制器设计和稳定性分析，该模型能够详尽刻画明渠非恒定水流的运动规律，长期以来一直是分布参数系统控制理论方向的一个重要而又困难的研究课题。首先，利用算子半群理论将系统改写为抽象发展方程的形式，结合Lyapunov函数方法验证系统算子是耗散的，并给出系统稳定性的参数条件；其次，采用谱分析方法证明PDE-PDE多渠道串级系统在次临界流动状态和超临界流动状态下均可构成Riesz谱系统；另外，在控制策略方面，将“控制器做出决策具有一定的滞后性”这一实际因素考虑进去，给出时滞边界状态反馈控制器的设计及其数学表达式，并分析系统稳定的参数条件，建立时滞值和系统稳定性之间的联系。

基于圣维南方程组的PDE-PDE渠道系统的镇定与控制问题一直是分布参数系统控制理论方向的一个重要研究课题。本项目在以下几个方面取得重要进展：(1)对基于圣维南方程组的单段或多段渠道而言，在线性边界反馈条件下，通过构造加权Lyapunov函数可得系统的渐近稳定性；(2)采用算子半群理论将基于圣维南方程组的PDE-PDE渠道系统改写成抽象发展方程的形式，验证系统算子是可逆的且为紧算子；(3)对系统算子的特征值和特征向量进行了较为细致的谱分析，并建立系统的Riesz基性质和指数稳定性结论；(4)提出时滞边界状态反馈控制器的设计思路，分析了时滞单渠道系统运行稳定的参数条件，建立了系统参数、时滞值和系统稳定性之间的联系。本项目的研究结果为进一步探讨时滞PDE-PDE耦合无穷维系统的镇定和控制问题提供了一定的方法借鉴。