脉冲随机反应扩散系统的稳定性、镇定与控制问题研究

利用Lyapunov函数，结合随机分析技巧，辅以脉冲微分不等式研究脉冲随机反应扩散系统的稳定性、镇定与控制综合问题。主要内容包括：脉冲随机反应扩散系统的均方稳定性、渐近稳定性、依概率稳定性、指数稳定性等充分条件和耗散性、鲁棒控制，镇定性等定理，并使用LMI等现代工具给出构造性的代数结果，为研究一般的脉冲随机偏微分系统的渐近行为提供理论基础。.脉冲随机反应扩散系统在经济学、医学、生态学、人口动力学等现代科技诸领域中具有广泛的应用背景。稳定性、镇定与控制综合问题是脉冲随机反应扩散系统动力行为研究的重要课题，它对群体增长、传染病、病虫害、污染扩散、金融危机等问题的防范与抑制具有重要的应用价值，对动力系统的控制器设计有重要的理论价值，特别是脉冲控制具有易于操作、实用经济等优点。

本项目研究了脉冲随机反应扩散系统的稳定性、镇定与控制问题。以Lyapunov理论为主线，通过利用脉冲微分不等式和Gronwall-Bellman脉冲积分不等式处理“脉冲突变”项，利用Hardy-Sobolev不等式、Hardy-Poincare不等式和新的Poincare不等式并结合边界条件处理“反应扩散”项，利用Ito微分公式和随机分析技巧处理“随机扰动”项，利用LMI工具模拟仿真，建立了脉冲随机反应扩散系统的若干稳定性定理，已发表论文16篇，其中4篇SCI，6篇EI，1篇国内权威，1篇ISTP，已录用1篇，已投3篇，基本达到预期目标。所获成果概述如下：1 寻找到随机反应扩散系统与随机常微分系统的内在联系，从而将随机反应扩散系统的稳定性研究转化为随机常微分系统的稳定性研究。以随机常微分动力系统的Lyapunov稳定性理论为基础，并结合Green公式和边界条件，获得了若干随机反应扩散系统的稳定性判据，包括均方稳定性和均方指数稳定性判据。.2 考虑了“脉冲突变”因素对随机反应扩散系统稳定性的影响。基于前期随机反应扩散系统的稳定性研究，并结合脉冲微分不等式技巧，研究了含脉冲和反应扩散项的随机动力系统的稳定性，找到了脉冲突变对随机反应扩散系统稳定性的影响，建立了若干稳定性定理，譬如均方稳定性定理。.3 不同于以往处理“反应扩散项”的技巧，利用新方法包括Hardy-Sobolev不等式、Hardy-Poincare不等式和新的Poincare不等式且结合边界条件重新估计了反应扩散项，从而讨论了扩散因素对动力系统稳定性的可能影响，结果表明：扩散现象确实能够影响动力系统的稳定性，影响因素包括有反应扩散系数和空间区域的特征(包括大小和维数)。具体地，研究了几类具时滞(包括常时滞和变时滞)和反应扩散项的脉冲神经网络(包括脉冲细胞神经网络和脉冲Cohen-Grossberg神经网络)的稳定性，建立了若干与反应扩散项有关的稳定性定理，譬如渐近稳定性和全局指数稳定性定理。.4 不同于以往处理“脉冲突变”项的技巧—脉冲微分不等式，利用新方法--Gronwall-Bellman脉冲积分不等式重新讨论了脉冲突变因素对动力系统稳定性的影响，具体讨论了脉冲时滞神经网络的稳定性，获得了较以往更简洁，更容易验证的稳定性判据。