PDE-ODE无穷维耦合系统的镇定与控制

The stabilization and control of PDE-ODE infinite dimensional coupled systems, which have strong backgrounds of physics and engineering application, is a hot topic in the field of distributed parameter control systems. For an unstable ODE system, an usual method is designing the PDP controller. Since the process of time-delay can be described by a transport PDE, an ODE system under a delayed controller can be regarded as an infinite coupled system composed of an ODE and a PDE, which are interconnnected by the boundary. Firstly, the feedback control and stabilization of a second-order ODE are studied when the controller itself has time-delay, and then the delay-independent stability region and delay-dependent stability region are obtained. Secondly, the control design and stability analysis of an ODE under a heat compensator are established. For different compensators, the differences in research techniques and results are concluded.. Simulation results and computational examples with MATLAB software system are presented in order to provide theoretical support for engineering practice, such as aerospace, chemical engineering and robotic arm.

PDE-ODE无穷维耦合系统的镇定与控制有很强的物理背景和工程应用背景，是分布参数系统理论研究的热点问题之一。对于一个非稳定ODE系统，常见方法是设计PDP位移反馈和时滞位移反馈控制器。由于时滞过程可以看作是一个运输方程，因此，时滞控制下的ODE系统可以看作是由ODE和PDE通过边界连接在一起的无穷维耦合系统。本项目首先考虑控制输入本身具有时滞的二阶ODE系统在PDP反馈控制下的镇定问题，得到系统参数与时滞无关的稳定性区域和与时滞相关的稳定性区域；其次给出ODE系统在热方程补偿下的控制器设计及指数稳定性分析，并且对于同一个非稳定ODE系统，拟给出不同的补偿控制器在研究方法和研究结果方面的差异。. 本项目还将利用MATLAB等数学软件进行模拟仿真，并进行算例分析，为航空航天，化学工程，机器人手臂等工程实践提供强有力的理论支持和指导。

对于一个非稳定ODE 系统，利用时滞位置反馈控制能够取得比较满意的镇定效果，但对系统参数、反馈系数以及时滞值之间有较强约束条件的限制。经过本项目研究工作的开展，将偏微分方程（热方程和波动方程）作为补偿控制器去镇定二阶ODE系统，通过设计有效的边界反馈耦合连接方式，使得PDE-ODE无穷维耦合系统成为一个耗散系统，结合谱分析方法和Riesz基性质建立了系统的指数稳定性。理论分析表明，PDE边界反馈补偿控制器大大削弱了对系统参数和反馈系数的限制条件。数值模拟结果表明，将热方程及波动方程作为控制器在镇定效果方面有很大的优越性，系统达到稳定状态的时间缩短了，且收敛过程较为平缓，不会出现很多的上下振荡。本项目的研究工作为进一步探讨PDE-PDE无穷维耦合系统的控制器设计打下了必要的理论基础，为建立PDE-PDE无穷维耦合系统的指数稳定性提供了一定的方法借鉴。