动力系统的可积、分支与嵌入流

This proposal mainly studies some related problems in the qualitative theory, bifurcation and integrability of ordinary differential equations, which mostly are the difficult open problems. These projects are the continuity of the applicant's past research. In details, the subjects to be studied in this project are the following. The existence of infinite smooth and analytic embedding flows of infinite smooth and analytic hyperbolic diffeomorphims with weakly resonances, and the existence of embedding flows of unipotent diffeomorphisms. The existence of analytic normalization of analytic integrable differential systems in a neighborhood of degenerate singularities, and of generalized analytic integrable differential systems; the further generalization and improvement of the Darboux theory of integrability. The weaken Hilbert 16th problem on algebraic limit cycles of planar polynomial differential systems in the dicritical case, and the existence of algebraic limit cycles of polynomial Lienard differential system(the problem that Zoladek did not solve in [Trans. Amer. Math. Soc. 1998]). The global dynamics(the existence of invariant tori and periodic orbits, and global structures) of one-dimensional quaternion ordinary differential equations(higher order Bernoulli equations and homogenous equations).

本课题主要研究常微分方程的定性、分支和可积理论中几个相关的问题, 其中大多是没有解决的困难的公开问题. 这些课题是申请者研究工作的延续和深入. 具体研究内容如下：具有弱共振的无穷光滑和解析双曲微分同胚的无穷光滑和解析嵌入流的存在性, 以及unipotent微分同胚嵌入流的存在性. 解析可积微分系统在退化奇点邻域解析等价正规型的存在性, 以及广义解析可积微分系统的解析等价正规型的存在性; Darboux可积理论的进一步改进和推广. 平面多项式微分系统在dicritical情况下代数极限环的弱化Hilbert第16问题, 以及多项式Lienard微分系统代数极限环的存在性(这是Zoladek[Trans. Amer.Math.Soc.1998]没有很好解决的问题). 一维quaternion常微分方程(高阶Bernoulli方程和齐次方程)的整体动力学(不变环面和周期规的存在性及全局结构等).

本项目主要研究常微分方程和动力系统的定性和分支理论、可积理论以及嵌入流等方面的问题。课题组按照申请书的研究计划开展了系统的研究，得到一些有意义的结果。主要结果发表在Trans. Amer. Math. Soc., J. Functional Anal., J. Nonlinear Sci., J. Differential Equations和Physica D等国际核心期刊上。现就研究结果涉及的几个方面总结如下。.一、可积理论.利用微分域扩张和Galois群等理论和方法揭示了任意有限维多项式微分系统的Liouville可积与函数独立的Darboux型Jacobi乘子的存在性之间的联系。这是M.F. Singer关于平面多项式微分系统Liouville可积的结果的推广和发展。.Poincare证明了对具有Monodromy奇点的平面解析向量场，必存在解析或形式函数使得向量场作用到该函数上是由共振项构成的幂级数。我们推广该结果到任意有限维解析或形式微分系统，并给出可积和部分可积系统的首次积分的渐近表示。.利用新的方法和技术证明了任意维光滑可积微分系统在全测度子集上等价于齐次线性微分系统。.二、极限环分支和全局结构.发展了高维周期微分系统和分段光滑周期微分系统的平均理论，并应用其研究了自治微分系统的极限环和中心等问题。给出平面分段光滑微分系统从广义同宿环分支出一个和两个极限环的判定准则，以及平面线性加齐次的微分系统在焦点、鞍点、结点和幂零奇点外围极限环数目最佳上界。.给出具有不变代数曲面的广义Lorenz系统的分类及其全局拓扑结构，以及具有两维中心流形和其上Monodromy奇点是中心和焦点的任意有限维解析微分系统与Jacobian乘子的存在性和光滑性的联系，并利用Jacobi乘子研究了奇点的Hopf分支。.三、定性理论和微分同胚嵌入流.完整地解决了多项式和三角多项式Riccati方程代数解的最大个数问题。刻画了三维空间中一类退化微分同胚嵌入流的存在性。.四、 正规型理论及其应用.给出具有sigma中心的平面分段光滑微分系统的拓扑等价正规型，及其拓扑变换的分段光滑性。刻画了非一致指数二分的线性微分系统的谱及其正规型；并借助该正规型给出非线性非自治微分系统的有限阶正规型。解决了可积微分系统在奇点和周期轨道邻域的解析等价正规型的存在性并给出其正规型的形式。