可积微分系统的极限环分支

The contents of this project are hot and difficult problems in bifurcation theory of ordinary differential equation, which are related to the Hilbert’s 16th problem. There are three problems in our project. The first one is about the number of limit cycles for integrable differential systems under perturbations of polynomials of degree n, where the generators of Abel integral satisfy different Picard-Fuchs equations. The second problem is on the exact number of limit cycles for piecewise smooth integrable differential systems. The third problem is about the number of limit cycles for integrable differential systems with isochronous centers. . The first integral of integrable differential system is no longer a polynomial, and the Picard-Fuchs equation can not be found by using traditional method for piecewise smooth integrable differential systems. We will estimate the number of limit cycles for these differential systems by Picard-Fuchs equation method, Melnikov function method, averaging method, Chebyshev criterion, argument principle, generalized Roll theorem, derivation-division and some new methods.

本项目的研究内容与Hilbert第16问题相关，是常微分方程分支理论中的热点和难点问题. 研究内容有三个：(1) 光滑可积微分系统在n次多项式扰动下分支出极限环个数的上下界估计，其中该扰动系统的Abel积分的生成元满足多个Picard-Fuchs方程；(2) 分段光滑可积微分系统在n次多项式扰动下分支出极限环个数的上下界估计，并考虑上下界的可达性；(3) 具有等时中心的可积微分系统在n次多项式扰动下分支出极限环个数的上下界估计. 可积微分系统的首次积分不再是多项式，且对分段光滑可积微分系统，不能应用传统的方法找Picard-Fuchs方程，需要寻找新的方法估计其极限环个数的上下界. 我们主要应用Picard-Fuchs方程法、Melnikov函数法、平均法、Chebyshev准则、辐角原理、广义罗尔定理、求导做除法等，并探索新的研究方法处理这些问题.

微分方程的极限环分支问题是近年来微分方程动力学行为分析领域的热点问题之一。本项目的研究包括光滑和非光滑微分方程的极限环分支问题，是与Hilbert第16问题密切相关的。主要的研究结果有：1、对于多项式扰动的Hamilton系统，相应的Abel积分的生成元较多，且满足两组或三组Picard-Fuchs方程，估计出了其极限环个数的上界。2、关于具有一条切换线的分段光滑微分方程的极限环个数问题，相应的Melnikov函数的计算更加复杂，把Picard-Fuchs方程推广到Melnikov函数的计算，大大的简化了计算量，成功的估计出了两类二次可逆系统在n次多项式扰动下极限环个数的上界。3、对于具有两条切换线(直线或曲线)的微分系统的极限环分支问题。用Picard-Fuchs方程得到了两类等时系统在n次多项式不连续扰动下的极限环个数的上界。当n=2时，得到了分支出的极限环的精确个数。对具有切换曲线的微分系统，给出了从未扰系统的周期环域中分支出极限环个数的上界。4、项目还研究了具有切换平面的n-维分段光滑微分系统的极限环分支问题，得到了极限环个数的上界和精确个数。