Navier-Stokes方程与Darcy流耦合模型的mortar元方法及其后验误差估计

In this project, I plan to investigate mortar element method for the coupling of incompressible flow and porous media flow. The model is relevant to a variety of physical processes. The coupled system consists of different partial differential equations where the free fluid is governed by Navier-Stokes equations and Darcy law can simulate the porous media flow. The fluid and porous media flow are coupled by such interface conditions: mass conservation (or called as flux continuity), the balance of the normal forces and the Beavers-Joseph-Saffman law which is the most accepted condition. The project consists of the following parts..Firstly, study the coupled problem with transport. The model is closer to the reality when Navier-Stokes equations and Darcy flow are coupled with a transport equation where the viscosity depends on the concentration of a chemical. It is a challenging problem. Secondly, investigate mortar element method for the coupling of Navier-Stokes equations and Darcy-Forchheimer flow. When the velocity of flow in the porous media is high, the nonlinear relationship between velocity and pressure can be described by Darcy-Forchheimer equation. Thirdly, analyze a posteriori error estimates of mortar element method for the above coupling systems. And based on residual-type a posteriori error estimator, adaptive algorithm will be developed.

本项目计划研究不可压缩流体和多孔介质流耦合问题的mortar元算法。该耦合问题由不同的偏微分方程构成，Navier-Stokes方程用来描述不可压缩流体的运动规律，而多孔介质流满足Darcy法则。交界面条件为：质量守恒定律、力的平衡性条件和Beavers-Joseph-Saffman法则。准备开展以下三部分工作：.第一、研究带传质方程耦合问题的mortar元算法，这是一个有挑战性的课题，其中有三个未知量。在此类耦合系统中，流体的粘性依赖于某种化学物质的浓度。第二、开展对Navier-Stokes方程与Darcy-Forchheimer流耦合问题mortar元算法的研究工作。对于高速流体，多孔介质中将会出现湍流，Darcy-Forchheimer方程可以用来描述多孔介质中高速流体的运动规律。第三、针对上述耦合系统，建立mortar元算法的后验误差估计，并设计出自适应算法。

由于可描述多种物理过程，不可压缩流体和多孔介质流的耦合模型引起了广泛关注，成为当今流体力学、计算数学领域的前沿课题。关于这种耦合系统，一个直观的过程—表层水与地下水间的相互渗透。表层水是指河流湖泊中的水，而由岩石泥沙所构成的河床湖底即为多孔介质。本项目要建立有效的算法，数值模拟该过程。耦合模型由不同的微分方程构成，Navier-Stokes方程用来描述不可压缩流体的运动规律，而Darcy法则适用于多孔介质区域，且Navier-Stokes方程和Darcy方程均带有流速关于时间的偏导数项。三个交界面条件分别是：流量连续性、力的平衡和Beavers-Joseph-Saffman法则。已完成以下工作：首先，在假设流体的粘性系数和右端项满足一定关系的条件下，对流速低的耦合问题证明了弱形式解的存在唯一性。其次，分析了使用mortar方法所得到的全离散解和弱解之间的误差。不同于时间层上加权平均的结果，本项目首次在每个时间层上，给出了误差的清晰表达式。得到的结果是：误差关于多孔介质的剖分尺寸是一阶收敛的，且关于流体区域的剖分尺寸是线性收敛的，关于时间步长也是一阶收敛的。最后，编写计算机程序，运行结果是：随着剖分尺寸减半，误差的范数呈现二分之一的关系，这意味着一阶收敛性，与理论分析的结果相符。画出解析解和数值解在最后时刻的图像，通过两者间的对比，清楚地看到所给出的算法可以有效地逼近解。