非线性泛函微分方程高阶耗散方法及其后验误差估计

Developing numerical methods which preserve the key qualitative features of the original systems and designing highly efficient algorithms by resorting to the intrinsic properties of the system considered have been important research work in numerically solving differential equations. In this project, we will develop high order dissipativity-preserving methods for nonlinear functional differential equations (FDEs) and partial FDEs (PFDEs), and design highly efficient algorithms and establish a posteriori error estimates by using the intrinsic properties of dissipative systems. This project mainly includes three aspects as follows: (1) Obtain high order dissipative methods for nonlinear FDEs and their a posteriori error estimates via high order reconstruction of the approximate solutions; (2) On this basis, develop high order time integration methods and highly efficient fully discrete postprocessing algorithms for nonlinear PFDEs by combining two-grid and postprocessing techniques, and derive a posteriori error bounds for these methods; (3) Apply these obtained theoretical results and highly efficient algorithms to delay reaction-diffusion equations and delay Navier-Stokes equations, design high accuracy fast algorithms for these equations by taking their features into account, and obtain their a posteriori error estimates. Some research contents involved in the project which are still blank at home and abroad are expected to achieve good results since we have obtained some important results on the stability of numerical methods for nonlinear FDEs in the last few years. These results will not only promote the further development of the related areas of research, but also provide new methods and techniques for scientific computing in practical engineering problems.

寻求保持系统原有特性的算法及利用系统原有特性设计高效算法一直是微分方程数值解中的两个重要研究工作。本项目将寻求非线性常及偏泛函微分方程的高阶耗散算法并利用耗散系统内蕴性质设计高效算法及获得后验误差估计。主要包括三个方面：（1）研究非线性泛函微分方程高阶耗散算法并基于高阶重建给出其后验误差估计；（2）研究非线性偏泛函微分方程耗散系统空间离散的两网格和后处理技术，在此基础上研究高阶时间积分方法和全离散后处理高效算法，并导出后验误差估计；（3）将所获理论结果及高效算法应用于延迟反应扩散方程及延迟Navier-Stokes方程，结合各自特点构造其高精度快速算法并获得其后验误差估计。本项目涉及的一些研究内容尚属国内外空白，而我们对非线性泛函微分方程数值解的研究已有一定基础，有望在这些研究内容上取得成果。这些成果不仅可以促进相关研究领域的进一步发展，而且可为工程实际问题中的科学计算提供新的方法和技术。

寻求保持系统原有特性的算法及利用系统原有特性设计高效算法一直是微分方程数值解中的两个重要研究工作。本项目通过寻求非线性常及偏泛函微分方程的高阶耗散算法并利用耗散系统内蕴性质来设计高效算法进而获得这些算法的后验误差估计，为自适应计算奠定了理论基础。基于项目研究计划，我们较系统地研究了非线性Hale型中立型泛函微分方程及一般形式中立型泛函微分方程的数值解法，获得了这两类方程系统耗散的充分条件，统一了已有的关于延迟微分方程、延迟积分微分方程的理论结果，获得了保耗散的高阶Runge-Kutta方法。系统获得了一般形式非线性中立型泛函微分方程理论解稳定、渐近稳定、收缩及指数稳定的充分条件，统一了已有文献中关于Volterra泛函微分方程、中立型延迟微分方程、中立型延迟积分微分方程等各种类型的泛函微分方程的结果，为非线性中立型泛函微分方程的数值求解奠定了坚实基础；以此为基础，研究了非线性泛函微分方程高阶Runge-Kutta方法、A-稳定单支方法的保稳定性以及非线性中立型比例延迟微分方程全几何网格Runge-Kutta方法和单支方法的稳定性，建立起非线性中立型泛函微分方程数值稳定性的统一理论。利用非线性Cahn-Hilliard方程、非线性反应扩散方程、非线性偏积分微分方程的耗散特性，构造了高效的两网格后处理算法。证明了抛物型方程变步长BDF2方法后验误差估计子的最优性，解决了这一开问题，获得了延迟反应扩散方程的后验误差估计。证明了延迟Navier-Stokes方程隐式Euler方法、线性隐式Euler方法的保耗散性。. 研究成果具有重要的理论意义。初步建立了非线性中立型泛函微分方程系统的耗散理论，统一了此前关于延迟微分方程、延迟积分微分方程等理论结果；提供了论证这些方程数值耗散性的一般方法，为这些方程理论及算法的进一步研究奠定了坚实的理论基础。. 另一方面，我们将所获研究成果已应用于金融期权中的Black-Scholes方程，建立起高效算法。鉴于常及偏泛函微分方程广泛出现于电动力学、通讯网络、生物学及控制理论等科技领域，包含多种类型的数学物理方程，而这些方程的理论解难以获得，其数值解法是必然手段，因而本项目的研究成果具有广阔的应用前景。上述研究成果为这些方程的数值求解提供了算法指导和理论指南。