非线性抛物方程有限体积元方法的后验误差估计及自适应算法

In this project, we mainly study the theory and implementation of the a posteriori error estimates and adaptive algorithm for nonlinear parabolic equations. First, we will study the numerical solution theory of the finite volume element method for the nonlinear parabolic equations，prove the existence and uniqueness of the numerical solutions and present the priori error estimates for the finite volume element method. Then we will study the a posteriori error estimates and adaptive algorithm of the finite volume element method for the nonlinear parabolic equations. We will construct the a posteriori error estimator and prove the validity of the error estimator. We design the adaptive algorithm based on the a posteriori error estimator, prove the convergence and effectiveness of the algorithm and develop adaptive algorithm program. Finally, combining the two-grid method, upwind technique, characteristic method and so on, we study the a posteriori error estimates and adaptive algorithm of the two-grid finite volume element method for the nonlinear parabolic equations and nonlinear convection-diffusion equations. The corresponding theoretical analysis and numerical experiments will be presented. The research of this project will further improve the theoretical system of the finite volume element method, and the research results will promote the application of the finite volume element method in practical problems.

本项目主要研究非线性抛物方程有限体积元方法的后验误差估计及自适应算法的理论及实现。首先研究非线性抛物方程有限体积元方法的数值解法理论，证明有限体积元方法解的存在性和唯一性，建立非线性抛物方程有限体积元方法先验误差估计理论。随后研究非线性抛物方程有限体积元方法的后验误差估计，构造简单易算的后验误差估计子，证明后验误差估计子的可靠性和有效性。根据后验误差估计子设计非线性抛物方程有限体积元方法的自适应算法，证明算法的收敛性和有效性，编制自适应算法程序。最后结合两层网格算法、迎风技巧、特征线方法等研究非线性抛物方程、非线性对流扩散方程有限体积元方法的后验误差估计及自适应算法，给出相应的理论分析和数值实验。本项目研究将会进一步完善有限体积元方法的理论体系，研究成果将会提升有限体积元方法在实际问题中的应用。

课题组围绕非线性偏微分方程高效数值方法做了一系列的研究，取得了一定的成果，主要有：（1）非线性椭圆问题两层网格有限体积元方法及线性椭圆问题任意阶有限体积元方法的后验误差估计；非线性椭圆问题的二次有限体积元方法；非单调拟线性椭圆问题的自适应有限元方法。（2）非线性抛物问题两层网格有限体积元算法及理论；非线性积分微分方程、非线性Sobolev方程的两层网格有限元方法及理论。（3）非线性时间分数阶移动/不动对流扩散方程的两层网格特征有限元方法及理论，以及一个基于后处理技术的分数阶微分方程的后验误差估计。（4）一系列相场模型，如枝晶增长相场模型、两相流相场模型、不可压缩磁流体模型的线性、全解耦且无条件能量稳定的高效数值格式。本项目研究进一步完善了非线性偏微分方程的高效数值解法及理论体系，可望应用到相应的物理、工程等实际问题中去。项目组对一系列相场模型的数值方法及理论进行的研究，为下一步研究相场模型的高效数值方法及理论打下了基础。. 项目资助发表SCI论文30篇，获得山东省高等学校科学技术奖一等奖1项。培养硕士研究生12名，其中5名已取得硕士学位。