有限阿贝尔群上若干堆垒问题研究

In this project we shall study some additive problems on finite abelian groups. The main contents of this projects include to establish more efficient results on subsets sums to attack the famous Erdos-Szemeredi conjecture; to study zero-sum problem with emphasis on finite abelian groups of rank at least three, such as to determine the EGZ constant; to develop group rings theory for study additive problems; and to apply additive results in the study of factorization theory.

本项目研究组合数论中有限Abel群上的堆垒问题。主要内容包括：获得更有效的子集和定理去攻击著名的Erdos-Szemeredi猜想及给出Kneser定理和Scherk定理以限制子集和形式；研究零和问题，特别是秩不小于3的有限Abel群上的零和问题，其中包括EGZ常数的确定；项目拟从堆垒理论出发去建立新的群环理论；将堆垒理论用于数域上理想分解问题研究。

本项目已按计划完成，达到预期目标. 主要取得了如下研究成果： （1）设G是一个n阶Abel群, 用exp(G)表示其幂指数(exponent), 我们证明了当exp(G) 相对n/exp(G)很 大时,kexp(G)+D(G)-1是满足下面条件的最小正整数t, G上每一个长度不小于t的序列一定包含一个长度为kexp(G)的零和子列, 这里k为大于1的整数.上述结论的改进使用了最小和贪婪算法的手法，此方法是本项目主持人1996年最先引入。（2）使用群环作为工具研究了堆垒基问题，EGZ常数和不同长度零和子列问题。（3）设S是有限Abel群上的无零和序列, 用Sigma(S)表示可表为S的某子列子和的元素全体, 用Supp(S)表示S的不同项构成的集合.我们给出了|Sigma(S)|涉及|Supp(S)|的一个好的下界, 从而回答了法国著名组合数论专家Hamidoune2003年提出的一个公开问题。（4）给出了有限群(不必交换)的Davenport常数的一个好的上界. 设G是一个n阶有限群, p为n的最小素因子,我们证明了D(G)<=n/p+9p^2-10p. 当G有一个指数为p的极大循环子群时, 容易知道D(G)>=n/p+p-1.（5）首次提出研究Erdos-Ginzburg-Ziv定理在交换半群上的推广和精确化问题，提出了Gao定理E(G)=D(G)+|G|-1(关于Abel群)在半群上的模拟猜想并就一些（无限多个）半群验证了它。