堆垒组合中若干问题研究

In this project we shall study some problems from additive combinatorics with emphasis on zero-sum problems over finite abelian groups and the application of group rings theory to additive combinatorics. We shall study the relationships between different zero-sum invariants; to develop zero-sum theory by some refined methods including introducing new invariants on zero-sum and determining the structure of some sequences; to study the interaction between zero-sum theory and other mathematical problems including covering problem and to study the application of group rings theory to additive combinatorics.

本项目将研究一些堆垒组合问题，特别是侧重于有限Abel群上的零和问题及群环理论在堆垒组合上的应用研究.我们将研究有限Abel群上零和不变量之间的关系;通过引入新的不变量和序列结构刻画等方法细化研究零和问题去深化零和理论; 研究零和理论与覆盖等其它数学问题的联系; 以及发展群环理论并应用于零和等堆垒组合问题研究.

本项目深化和丰富了零和理论和堆垒基理论。取得了如下主要成果：.（1）设G是一个有限加法Abel群，单位元记做0. 设S是G上的一个序列（S的项都来自G，可以重复）。用∑(S)表示G中的所有能表示为S的一个非空子列和的元素构成的集合。如果0不在∑(S)中，我们称S是一个无零和（zero-sum free）序列。J.E. Olson 1975年证明了如果S是G上的一个无零和的k元子集（元素不重复的序列），则|∑(S)|>k^2/9 . 我们将Olson的这一结果改进为|∑(S)|>k^2/6 .作为应用我们给出了循环群上长无零和序列的一个结构刻画；（2）我们引进了新的零和不变量 d_B(G),它表示满足下面条件的最小正整数t使得，G上的一个序列长度如果大于等于t就包含一个子列属于B ，这里B 是由G上的一些零和序列构成的。取不同的 B我们可得到许多经典零和不变量包括Davenport常数，EGZ常数，EGZ定理常数等。本项目已获得了关于 d_B(G)较为深刻的结果；（3）我们研究了一个较长序列满足其所有非空零和子列长度均相同，就G为循环群和秩为2的群给出了序列的结构刻画结果；（4）我们给出了Davenport常数下界估计的新结果。Davenport常数的确定和估计是人们一直关注但进展甚微的；（5）我们称G上的一个序列S是正则的（regular）如果对G的每一个真子群H，S的项（按重数计算）至多有|H|-1个属于H. 用c_0(G) 表示满足下面条件的最小正整数t，G上的每一个正则序列S如果长度大于等于t就形成了G的一个堆垒基（即∑(S)=G）。在前一个项目的基础上，本项目对一大类G，确定了c_0(G) 。目前只剩下秩是2的群和秩大于2但阶小于10^8的群 c_0(G)没有确定。