整数环上的多项式序列与有限阿贝尔群上的零和序列

Polynomial sequences over ring of integers and zero-sum sequences over finite abelian groups are two important objects in the study of combinatorial number theory. In this project, we mainly reseach some arithmetic and combinatorial properites on polynomial sequences over ring of integers and zero-sum sequences over finite abelian groups, including the distribution of roots of systerm of polynomial congruences, a generalization of two zero-sum constants D(G) and eta(G) and the related question of describing the stucture of special sequences. The research on distribution of roots of polynomial sequences is started by Hooley, then great improvement is achieved by Iwaniec et al. The applicant expect to improve Hooley's result to higher dimension, that is, to set up the uniform distribution theorem for roots of system of polynoomial congruences. D(G) and eta(G) are two important zero-sum constants. Delorme et al defines a new kind of constant which unifies these two. We will study this new kind of constant and its inverse problem--the structure of special sequence related to it. Specially, when G is an elementary 2-group, the results on this new constnat can be used in coding theory.

整数环上的多项式序列和有限阿贝尔群上的零和序列是组合数论中的两个重要研究对象.本项目主要研究整数环上的多项式序列和有限阿贝尔群上的零和序列的若干算术及组合性质,包括多项式同余方程组的根的分布问题,零和序列的两个零和常数D(G)和eta(G)的一类推广以及由此产生的序列结构问题.多项式同余方程的根的分布问题最早由Hooley进行研究,之后Iwaniec等人在这一问题的研究中做出了重大推进.申请人拟将Hooley的结果推广到更高维的情形,即建立同余方程组的根的一致分布理论.D(G)和eta(G)是两个重要的零和常数.Delorme等人定义了一类新的零和常数,将二者统一在一起.申请人将就这一类推广及其反问题——特殊序列的结构问题进行研究.特别地,当G为初等2-群时,该类常数的研究结果可以应用于编码领域.

本项目主要研究整数环上的多项式序列和有限阿贝尔群上的零和序列的若干算术及组合性质, 具体包括：多项式同余方程组的根的分布问题，零和序列的两个基本常数D(G)和eta(G)的一个推广相关的序列结构问题，此外还研究了有限域上指数和的p-adic估计问题. 多项式同余方程的根的分布是解析和组合数论中的重要问题，Hooley、Iwaniec等人在这一问题的研究中做出了重大推进。借助代数数论的工具，申请人将Hooley的结果推广到更高维的情形，即建立了同余方程组的根的一致分布理论。在零和序列方面，Delorme等人定义了一类新的零和常数，将两个基本的零和常数D(G)和eta(G)统一在了一起，申请人与合作者研究了这一常数相关的反问题，对秩为二的群对这一反问题做了部分回答。指数和是解析数论和组合数论中的基本工具之一，申请人和合作者研究了一类广义Kloosterman和的p-adic估计问题，即研究了其L-函数的Newton折线，确定了Newton折线的下界，并对何时取下界的问题做了一定回答。多项式同余方程组的根的分布和指数和问题是解析数论及组合数论中的重要理论问题，对这两个课题的研究有较大理论价值。主要研究对象为有限交换群上零和序列的零和理论是组合数论和加性组合中的重要分支，对其进行研究有重要理论意义；同时零和理论与代数编码中的2元码密切相关，我们的研究结果有望与代数编码产生联系。