组合数论中的堆垒问题

本项目拟研究组合数论的堆垒理论中三个方面的基本和热点问题：限制子集和问题和子集和理论的反问题；关于高维Abel群的零和问题及其应用以及零和问题在半群上的推广和模拟；长算术级数的存在性问题。研究方法将涉及多项式方法，群环方法，概率方法，傅立叶分析等。 特别地，本项目将探索Alon的多项式方法和理论的群环模拟。

本项目已按计划完成，达到预期目标。所取得的主要成果如下：1. 否定了Lemke和Kleitman于1989年提出如下猜想: 每一个长度为n的Z/nZ 上的序列都包含一个Index为1的子列. 对n模4余2 且n≧22 我们给出 上长度为5n/4+ -3/2的序列其不含Index为1的子列；（2）设 G是一个有限Abel群,用exp(G) 表示G 的幂指数(exponent).定义EGZ常数s(G) 为满足下面条件的最小正整数t: 由 G的元构成的任意t 项序列都有一个exp(G) 长的子列所有项之和为零(G 的单位元，这种序列称为零和序列). 对给定G=(Z/nZ)^r 上的一个序列S，要证明S有一个长度为n=exp(G)的零和子列。显然最简单的情况是S有一项重复至少n次。次简单的情况就是没有元素出现n次或n次以上，但重复出现n-1次的元素尽可能的多。我们的主要结果粗略地说就是如果能证明在这种次简单的情况下，S有一个长度为n的零和子列，那么我们可以对某些m得到关于s((Z/mnZ)^r)的精确结果；（3）我们证明了对所有秩为2的有限Abel群G=Z/mZ+Z/nZ 均有N(G)=m+n ，这里1<=m|n, N(G)为 Narkiewicz常数，其定义为只有一种方式分解成极小零和子列乘积的零和序列的最大可能长度。这解决了Narkiewicz 30年前提出的一个猜想；（4）用η(G)为满足下面条件的最小正整数t: 由G的元构成的任意t 项序列都有一个长度介于1和exp(G)之间零和子列。本项目负责人2003年提出如下猜想：对任意的有限Abel群均有s(G)= η(G)+exp(G)-1. .此猜想此前仅对η(G)已知的群和exp(G)≦4的群被证实。本项目成员证明了对任意的有限Abel群H,令m=exp(H). 则对所有充分大的自然数n,均有s(G) =η(G)+exp(G)-1，这里G=Z/mnZ+H；(5) 有限Abel群上的一个序列的所有项的阶的倒数和称作该序列的cross number。我们率先提出研究唯一分解零和序列的最大可能cross number并对阶为pq的群确定了该不变量。