有限Abel群上的堆垒基问题与零和问题的研究

Additive bases problems and zero-sum problems are popular in Combinatorial Number Theory and their contents are vast. In this project these problems are tackled with many methods, including the structure of finite abelian groups, algebra, polynomial method, group ring, probabilistic method, harmonic analysis and so on. Main contents: combine polynomial method, group ring theory, probabilistic method and harmonic analysis to determine the Olson constant of some special finite abelian groups; study the zero-sum problems of finite abelian groups with rank at least 3; determine the Davenport constant and EGZ constant of some special solvable groups; study the additive bases problems through the group ring theory and the abstract algebra.

堆垒基问题与零和问题是组合数论的热门研究对象。本项目拟运用有限群的结构、代数、多项式方法、 群环、概率方法和调和分析等工具对有限Abel群上的堆垒问题进行研究。主要内容有：结合多项式方法、群环理论、概率方法与调和分析给出更有效的子集和定理去解决一些经典问题,包括有限Abel群的Olson常数的计算；研究秩不小于3的有限Abel群的零和问题；研究可解群上的零和问题，确定某些可解群的Davenport常数与EGZ常数；用群环理论与抽象代数研究有限Abe群的堆垒基问题。

堆垒基问题与零和问题是组合数论的热门研究对象。本项目取得的主要研究成果有：1给出了一类非交换群的EGZ常数和Davenport常数的确切值，并确定这类群的Noether常数。给出了幂零群的的Noether常数的非平凡上界。首次将零和里有限交换群上经典的归纳法应用到非交换群上去;2给出C_n^3和C_n^4上推广EGZ常数的一个好的上界，也证明了极限版本的Kubertin猜想;3确定了一些具有大幂指数的有限交换群上的推广EGZ常数，部分验证了Gao的猜想;4令G是一个有限交换群，F是一个域，我们对群环FG是否是star-clearn环进行了分类;5确定了一类秩为2的有限交换p-群的堆垒基常数;6通过解一类有限域上的方程，解决了Ding和Helleseth在2013年提出的一个公开问题;7给出了有限交换群上的零和序列和Dyck path的一一对应。