非线性波动方程外问题解的生命跨度的下界估计

The wave equation is a kind of important evolution equation, the study on the global existence, uniqueness as well as the decay of classical solutions to cauchy problems of nonlinear evolution equations with small initial data is one of the most important research contents of the evolution equations. The study on these problems can be traced back to the end of seventy''s of the last century by the late American mathematician F. John about his work [1, 5] on the blow-up of solutions to nonlinear wave equations and a series of subsequent work [2, 4, 6-21]. In the 1980s, Member of the Chinese Academy of Sciences Li Ta-tsien proposed a concise and unified framework----the global iteration method to study the the global existence and the life-span of classical solutions to fully nonlinear wave equations. With the help of some fine estimates on the solution to the linear wave equation, a complete result is derived on the global existence and the life-span of the classical solution for any space dimension n(≥1) and for any integer order p(≥2) of the nonlinear right-hand side. However, there is few paper in the literature which discusses the exterior problems for a nonlinear wave equation. The aim of this project is that by establishing the high order energy estimate and the exponential decay estimate of solutions for the exterior problem and for the problems with Neumann boundary conditions and the Robin boundary conditions, we will obtain the accurate analysis of the existence, uniqueness and the lower bound estimate of the life span of solutions to the exterior problems for general quasilinear wave equations.

波动方程是一类重要的发展型偏微分方程, 研究非线性发展方程具小初值的Cauchy 问题的(经典)解的整体存在唯一性, 以及解的衰减性是非线性发展方程研究中的重要研究内容之一, 关于这类问题的研究可以追溯到上世纪七十年代末由已故的美国数学家F. John关于非线性波动方程解的破裂现象的研究[1],[5]以及一系列后继的工作[2]-[4], [6]-[21]。 上世纪八十年代, 李大潜院士对于非线性波动方程初值问题的解的整体存在性以及解的生命跨度估计利用简明而统一的方法-整体迭代法得到了完整结果。 但是, 对于非线性波动方程的外区域问题的研究还是极大的空白, 本项目拟通过建立外问题包括Neumann 边界条件和Robin 边界条件的外问题的高阶能量估计以及解的局部能量指数衰减估计, 进而对一般形式的拟线性波动方程外问题的解的存在唯一性, 生命跨度的下界估计，做出精确的分析。

波动方程刻画了现实世界中许多重要的物理现象,是最重要的偏微分方程之一。研究非线性发展方程具小初值问题的(经典)解的整体存在唯一性, 以及解的衰减性是非线性发展方程研究中的重要研究内容之一, 关于这类问题的研究可以追溯到上世纪七十年代末由已故的美国数学家F. John关于非线性波动方程解的破裂现象的研究以及一系列后继的工作。 上世纪八十年代, 李大潜院士对于非线性波动方程初值问题的解的整体存在性以及解的生命跨度估计利用简明而统一的方法-整体迭代法得到了完整结果。但是, 对于非线性波动方程的外区域问题的研究, 鲜有文献报道。 经过一年来本项目的研究, 建立了外问题包括Neumann 边界条件和Robin 边界条件的外问题的高阶能量估计以及解的局部能量指数衰减估计, 进而得到了一般形式的拟线性波动方程外问题的解的存在唯一性, 生命跨度的精确下界估计。