半线性广义Tricomi方程Cauchy问题解的生命跨度估计研究

The semilinear generalized Tricomi equation naturally arises in the physical problems of gas dynamics, the small data Cauchy problem of which attracts more and more attention recently. For this problem, people are interested in determining when it has global solution and when the solution will blow up in a finite time. The known results imply that the problem admits a critical exponent, which depends on the space dimensions, the power of the nonlinear term and the Tricomi operator. This project aims to study the lifespan estimate of the Cauchy problem for the semilinear generalized Tricomi equation with small data, which will be helpful to understand the physical phenomenon of gas dynamics.

半线性广义Tricomi方程是来自气体动力学中的模型，最近，其小初值Cauchy问题解的大时间行为受到越来越多的关注。国内外数学工作者感兴趣的是该问题什么时候存在整体解，什么时候解会在有限时间内破裂。已有的工作表明其存在一个临界指标，该临界指标与空间维数、非线性项指数及Tricomi算子有关系。本项目计划研究半线性广义Tricomi方程小初值Cauchy问题解在有限时间内破裂时解的生命跨度估计，进一步加深对气体动力学物理现象的理解。

本项目计划研究带次临界指标的半线性广义Tricomi方程小初值Cauchy问题解的生命跨度估计。项目执行过程中，项目负责人发现次临界情形生命跨度上界估计用Scaling方法很容易就能得出来。而且研究过程中发现Tricomi方程和耗散波动方程有着密切的联系，于是转为研究半线性耗散波动方程的生命跨度估计，等温欧拉方程解的大时间行为等。建立了2维外区域上临界半线性波动方程初边值问题的有限时间破裂结果；得到了高维临界半线性耗散波动方程解的生命跨度最佳上界估计；建立了带导数非线性项的变系数耗散半线性波动方程解的破裂和生命跨度估计；证明了2维和3维空间中可压等温欧拉方程的广义黎曼问题的有限时间破裂结果和生命跨度估计。