非线性波动方程解的破裂及其生命跨度的上界估计

Nonlinear wave equation is one of the most important partial differential equations, and it describes many important physical phenomenon in the real world. The blow-up property and the estimate of lifespan of solutions to nonlinear wave equations is always a quite active topic. To dates there are abundant results about the Cauchy problem with small initial data of the semilinear wave equations with constant coefficients. For example, the studies of F.John, Glassey, Sideris et al on the blow-up of solutions to the cauchy problems of semilinear wave equations with small initial data in the subcritical exponent case. But for the case of variable coefficients or the Dirichlet problem of the exterior domain and the Cauchy problem or the Dirichlet exterior problem of the quasilinear wave equations, few papers have appeared in the literature which discusses the corresponding blow-up results. We try to obtain the blow-up properties and the estimate of lifespan of solutions to the Cauchy problems、 the Dirichlet exterior problems of semilinear wave equations with variable coefficients and quasilinear wave equations. By constructing suitable weighted time-space estimates, Stricharz estimates and Klainerman-Sobolev inequalities, we will extend the blow-up results of solutions to semilinear wave equation with constant coefficients and strauss conjecture about the subcritical exponent and critical index to the case of variable coefficients and the exterior problems, and also obtain the upper bound estimate of lifespan of solutions. In addition, we will further study the properties of solutions to semilinear wave equations with the black hole background in the general relativity.

波动方程刻画了现实世界中许多重要的物理现象,是最重要的偏微分方程之一。非线性波动方程解的破裂性态及其生命跨度估计一直是一个非常活跃的前沿研究方向。 关于常系数半线性波动方程的小初值柯西问题, 目前已有丰富的研究结果, 而对于变系数半线性波动方程、 拟线性波动方程的初值问题以及外区域上的初边值问题，在已有的文献中， 鲜有文献研究相应的解的破裂结果。本课题主要通过构造适当的加权时空估计、Strichartz估计和Klainerman-Sobolev不等式, 将对变系数半线性波动方程和拟线性波动方程初值问题以及外区域问题解的破裂性态及其生命跨度作深入的研究。 将常系数半线性波动方程和Strauss猜想有关的次临界指数和临界指数时解的破裂结果推广到变系数、外区域的非线性波动方程问题，并且得到解的生命跨度的上界估计，在此基础上进一步研究广义相对论中具有黑洞背景的半线性波动方程问题解的性态。

对于经典解的破裂性态及其生命跨度估计的研究有多方面的应用背景， 在数学理论上也是一个挑战。 本项目主要从无穷维动力系统角度, 利用现代分析方法研究非线性波动方程解的适定性理论。 关于常系数半线性波动方程的小初值柯西问题, 目前已有丰富的研究结果, 而对于变系数半线性波动方程、 拟线性波动方程的初值问题以及外区域上的初边值问题，在已有的文献中， 鲜有文献研究相应的解的破裂结果。 通过三年的潜心研究，本项目取得一系列重要数学结果， 具体包括：1. 得到了变系数半线性波动方程Cauchy问题以及外问题在所有空间维数下解的破裂性态， 进而部分地验证Strauss猜想，将常系数波动方程Cauchy问题的结论推广至变系数、外问题情形； 2. 对于一般形式的拟线性波动方程的初值问题，得到了其经典解的破裂性态， 同时建立起解的生命跨度对应于初值, 空间维数及非线性项指数之间明确的依赖关系, 得到生命跨度的精确上界估计；3. 完成了对临界半线性波动方程解的生命跨度的下界估计的精确性证明；4. 完成了对二维非线性波动方程解的生命跨度的下界估计的精确性证明。此外， 本项目还研究了非线性波动方程在低正则空间中解的整体适定性， 并取得了重要结果， 具体地， 利用几乎能量守恒律得到了二维空间中带有三次非线性项的非线性波动方程最佳的整体存在性， 证明了该方程在低正则性的Sobolev 空间中的整体适定性， 其中指标S 突破 s<1/2。