正能定理和薛定谔算子特征值的关系

Positive energy theorem is an important topic of mathematics and theoretical physics, and it is one of the most profound results in general relativity. It has attracted lots of attention of mathematicians and physicists since it was conjectured by physicists in the 1960s. We will use the tools and results in differential geometry, partial differential equations, topology and other subjects to study the related problems in this project, including: (1) The relationship between the positive energy theorem and the eigenvalue of Schrodinger operator for non-time-symmetric asymptotically flat initial data; (2) For time symmetric and non-time-symmetric asymptotically anti-de Sitter initial data, whether the positivity of Schrodinger operator implies the positive energy theorem? (3)The relationships between the eigenvalues of Schrodinger operators and other inequalities related to the gravitational energy obtained under the dominant energy condition. The project aims at helping us understand the relation of matter and gravity in the spacetime more in-depth, and will make the theory of gravitational energy richer. The problems mentioned in the project have high academic research value, as they are related to one of the most popular directions in modern mathematical physics.

正能定理是数学和理论物理相结合的一个重要课题，是广义相对论最深刻的结果之一。它自从上世纪60年代被物理学家作为一个猜测提出以来，一直受到国内外数学家和物理学家的广泛关注。在本项目中，我们将利用微分几何，偏微分方程，拓扑等学科中的工具和结果研究相关的问题，包括： （1）对非时间对称的渐近平坦初始数据，正能定理和薛定谔算子的特征值之间的关系； （2）渐近anti-de Sitter的初始数据在时间对称和非时间对称的情形下，其上薛定谔算子的正定性是否蕴含正能定理； （3）薛定谔算子的特征值和其它在主能量条件下得到的与引力能量有关的不等式的关系。 本项目旨在更加深入地理解时空中物质和引力的关系，将丰富引力能量的相关理论。本项目所涉及的问题是现在国际数学物理的主流方向之一，具有很高的学术研究价值。

我们研究了渐近双曲流形上带电磁场的正能定理，发现在初始数据满足带电磁场的主能量条件时，总能量会有一个正下界，这个正下界由总动量，总电荷，总磁动量给出。我们同时还研究了总能量为0时的刚性问题，发现在此时初始数据上存在是个线性独立的平行旋量，它会给出初始数据一定的结构。该结果大大加强了我们对渐近双曲时空的了解，得到了渐近双曲时空中存在电磁场时总能量可以有一个更大的下界，这个下界不仅包含通常的总动量，还包括电磁场提供的总电荷和总磁动量。给带电磁场的渐近双曲时空的稳定性提供了保证，也进一步验证了爱因斯坦相对论的自洽性。.我们还研究了剖分流形上的组合曲率与曲率流。对于带堆圆度量的曲面以及带堆球度量的三维流形，我们引入了一种新的组合高斯曲率，这种曲率一方面可以很好的逼近光滑的高斯曲率，另外一方面它具有较好的变换性质。对于这种曲率我们考虑了其存在唯一性问题，推广了著名的Andreev-Thurston定理。同时，我们还引入了组合Ricci流，组合Calabi流以及组合Yamabe流来研究其存在性，发现了这些流的收敛性和常曲率度量存在的等价性。我们还考虑对应的双曲几何背景的问题。另外我们将Thurston的堆圆度量推广到反演距离堆圆度量，也考虑了对应的存在唯一性，证明了广义的Bower-Stephenson猜想。对于三维的堆球度量，我们证明了Cooper-Rivin于1996年提出的关于堆球度量整体刚性的猜想。