拟周期薛定谔算子谱的拓扑结构

Quasi-periodic Schrodinger operators play an important role in mathematical physics, which is closely related to quasi-crystal and quantum Hall effect. The spectral theory of the operator is a central topics in mathematical physics. Therefore, it attracts wide attentions from mathematicians and physicists. Recently, a great progress of the spectrum of quasi-periodic Schrodinger operators specially its topological structure has been made by using dynamical system methods. For instance, it has been proved that for generic potential, the spectrum of the associated operator is a Cantor set. Meanwhile, combing dynamical system and the spectral theory, the Fields Medal winner Avila and his cooperator Jitomirskaya proved the spectrum of Almost Mathieu operator(AMO) is a Cantor set.. This project aims at deep study of the topological structure of the spectrum of quasi-periodic Schrodinger operators. On the one hand, we hope to construct non-AMO quasi-periodic Schrodinger operators which show Cantor spectrum. On the other hand, we will investigate quasi-periodic monotonic Schrodinger operator. Taking advantage of monotonic potential, we are hopefully to prove the spectrum of corresponding operator is an interval, which is totally different from the Cantor set.

拟周期薛定谔算子与准晶体和量子霍尔效应等物理现象密切相关，引起了数学家和物理学家的广泛关注。其中，算子谱的研究是其中心课题。近年来，许多杰出数学家运用动力系统的方法研究拟周期薛定谔算子的谱并取得了重大进展，在算子谱的拓扑结构方面，人们证明了具有康托谱的算子在通有情形下是稠密的；此外，通过一系列的工作，菲尔兹奖得主Avila和Jitomirskaya合作将动力系统与算子谱理论相结合，最终证明了Almost Mathieu 算子(AMO)的谱是康托集。. 本项目将从两个方面研究拟周期薛定谔算子谱结构。一方面我们希望构造有别于AMO的具有康托谱的解析拟周期薛定谔算子。另一方面，我们研究一类近期受到广泛关注的具有单调位势的拟周期薛定谔算子的谱结构，希望利用其位势的特殊性最终证明该类算子的谱是一个区间，这与康托集的结构完全不同。

本项目首先研究拟周期薛定谔算子谱的拓扑结构。拟周期薛定谔算子是准晶体与量子霍尔效应现象的数学模型，由于其广泛的数学和物理背景受到许多数学家的高度重视。21世纪以来，人们发现可以用动力系统的方法来解决谱问题，并解决了一系列的重要猜测。拟周期薛定谔算子谱的拓扑结构是算子谱理论的核心之一。特别的，Avila解决了Ten Matini问题，证明了Almost Matieu算子的谱为Cantor谱，这也是Avila获得2014年菲尔兹奖的主要工作之一。通过对现有文献的研究，我们发现现有的谱的拓扑结构的研究集中在几类通有的拟周期薛定谔算子和Almost Matieu算子的研究中。在本项目的资助下，我们给出一类Gevrey类的位势函数的具体构造方式，并通过约化理论证明对应的算子谱为Cantor谱。这一结果是连续拟周期薛定谔算子具有Cantor谱的第一个例子，为拟周期薛定谔算子的谱的拓扑结构的研究提供了非平凡的例子，从而促进相关谱理论问题的研究。. 其次，我们还研究了一类比拟周期薛定谔算子更为广泛的一类映射—拟周期驱动圆周流的线性化问题。与线性系统相比，刘维尔频率的非线性系统的可约性研究是一个尤为复杂的问题。已知的关于刘维尔频率非线性系统的线性化结论主要集中在二维底频连续系统或一维底频离散系统中。我们将二维底频连续系统的结果推广到任意有限维底频连续系统中。通过推广的KAM定理，利用无理数的数论性质，我们得到了高维弱刘维尔频率拟周期驱动圆周流的旋转线性化。同时，我们将在哈密顿系统周期解研究中所建立起来的指标理论推广至一类渐近线性Schrodinger-Possion方程的研究中。我们利用Morse指标建立了对应的线性薛定谔方程的分类理论。将指标理论与临界点理论相结合，我们得到了解的存在性和多解性。