准周期薛定谔算子谱理论

Spectral theory of quasi-periodic Schrodinger operators has a rich background in quasi-crystal, quantum Hall effect and the control of cold atoms. It is one of the main subjects in mathematical physics, which is closely related to the study of dynamical systems, harmonic analysis, number theory and stochastic analysis. Its investigation has been active for several decades and attracted many worldwide famous mathematicians such as Moser, Sinai, Spence, Frolich, Bourgain, Avila. This project will investigate the spectral theory of quasi-periodic Schrodinger operators including the study of the geometry of the spectrum, IDS and spectral measure. The project will specially focus on the famous Dry Ten Martini problem and the Aubry-Andre-Jitomirskaya conjecture. The theory of dynamical systems will be the main tool; Control of the resonances caused by small divisors is the key scientific problem of the project.

：本项目拟研究在准晶， 量子霍尔效应，凝聚态物理，量子调控等物理学前沿研究方向中有重要背景的准周期薛定谔算子谱理论。这是国际上数学物理研究中一个主流而活跃的方向。这个问题和动力系统，调和分析，数论，随机分析，复分析等有密切的联系；它的研究很好的体现了数学的整体性并对数学理论的发展具有全局性的影响，现在是许多一流数学家,包括Bourgain和Avila正在研究的问题。本项目拟研究准周期薛定谔算子的谱理论，包括谱集，谱测度，态密度的性质以及算子谱理论和相关动力系统的相互关系；特别地，我们将研究关于Mathieu算子相变的Aubry-Andre-Jitomirskaya猜测和关于Mathieu算子谱隙的Dry Ten Martini问题。这个项目的核心科学问题是处理由小除数导致的近似共振。

本项目研究了在准晶， 量子霍尔效应，凝聚态物理，量子调控等物理学前沿研究方向中有重要背景的准周期薛定谔算子谱理论。这是国际上数学物理研究中一个主流而活跃的方向。这个问题和动力系统，调和分析，数论，随机分析，复分析等有密切的联系；它的研究很好的体现了数学的整体性并对数学理论的发展具有全局性的影响，现在是许多一流数学家,包括Bourgain和Avila正在研究的问题。本项目拟研究准周期薛定谔算子的谱理论，包括谱集，谱测度，态密度的性质以及算子谱理论和相关动力系统的相互关系；具体的，本项目得到了一系列研究成果，如关于Mathieu算子相变的Aubry-Andre-Jitomirskaya猜测等，发表在Duke Math J., CMP, Transaction AMS等著名期刊上。项目执行期间，项目执行人和合作者获得教育部自然科学一等奖。