Cocycle动力学和拟周期薛定谔算子的谱

Quasiperodic cocycles theory is a very active field in dynamical system，many developments on the dynamical properties of it, including reducibility,continuity of Lyapunov exponent,hyperbolicity, etc. have been achieved in recent years. There exists some relationship between the concepts of cocycles and those of Schroidnger opertor. Applying the results in quasiperiodic cocycles in the spectrum of quasiperodic Schrodinger operators, people obtained a lot of results on the properties of Schrodinger operator's spectrum, such as Anderson Localiation, pure point spectrum, pure absolutely continuous spectrum, Metal-insulator transition, the geometric sturcture of spectrum set, and so on. However, there are still more many problems unclear. In this program, we will focus on the following problems: 1. The continuity,regularity, positivity of Lyapunov exponents of quasiperiodic cocycles. 2 Anderson localization and the genericity of Cantor spectrum for quasiperiodic Schrodinger operators.

拟周期Cocycles是动力系统非常活跃的一个领域，近年来在Cocycles的可约性，Lyapunov指数和双曲性等方面取得了重大进展。Cocycles的基本概念与Schrodinger算子谱的基本概念存在着对应关系。人们将拟周期cocycle动力学理论应用于拟周期Schrodinger算子的谱理论，获得了巨大的成功，在Anderson localization, 纯点谱或纯绝对连续谱的存在性，相变现象，谱集的Cantor结构等方面取得了一系列前所未有的成果。不过仍有大量问题不清楚。本项目我们将进一步研究拟周期cocycle的Lyapynov指数的连续性，正则性，正性，以及拟周期Schrodinger算子的Anderson localization和Cantor谱的通有性等。

在动力系统研究中，拟周期薛定谔算子谱理论因其很强的物理背景和理论价值，受到包括沃尔夫奖得主J. Moser, Y.Sinai和菲尔兹奖获得者J. Bourgain, A.Avila等著名学者的关注。在该理论中拟周期薛定谔cocycle的李亚普诺夫指数的连续性具有至关重要的作用，因为谱的许多重要结论都建立在指数连续性的假设之上。Bourgain, Avila等在解析情形和连续情形得到了关于指数连续性的结果，而光滑情形指数连续性问题则成为数学界关注的公开问题。我们提出了一种全新的动力系统研究方法,揭示了光滑情形的指数连续性有完全不同的性质，并得到了相应的薛定谔算子谱集合的Cantor集结构，使光滑情形薛定谔算子成为新的研究方向。这些结果已在或即将在Duke.Math.J.，J. Functional Analysis, IMRN等重要期刊发表，得到A.Avila等的好评，被Invent. Math.等一流杂志引用；A.Avila等还将其中的一项工作列为专题研讨。王奕倩也应邀在英、德的一些著名数学所做报告。