BV量子化及其在几何与拓扑中的应用

The plan is to study sigma model in various dimensions via the mathematically rigorous method of Batalin-Vilkovisky (BV) quantization, and their applications in geometry and topology, especially in mirror symmetry. The perturbative theory at the vicinity of certain classical solutions of sigma models can be described via derived geomery and quantized via the BV method. Sigma models give rise to important structures and invariants of manifolds, and we will focus on the following subjects:.(1) We will consider B-model coupled with gravity. The quantization of such sigma models will show interesting geometric structures on moduli space of curves and provide more direct evidence of mirror symmetry..(2) We will study Rozanksy-Witten model. In particular, we will construct the associated 3d TQFT conjectured by Rozansky and Witten, and try to obtain the corresponding knot invariants. .(3) We will study 1-dim sigma model and its relation with deformation quantization.

本项目旨在通过严格的Batalin-Vilkovisky (BV)量子化的方法研究各种维数的sigma模型，及其在几何与低维拓扑特别是镜像对称中的应用。 通过导出几何(derived geometry)的方法，sigma模型在经典解附近的微扰理论可以能过Batalin-Vilkovisky的方法实现量子化。这类sigma模型的量子化会给出流形上的重要的结构和不变量。 我们将研究以下内容：.(1) 在拓扑B-模型(2-维sigma模型)的基础上考虑黎曼曲面上的共形结构变化的情形，即重力耦合B-模型。通过这样的B-模型的研究，我们希望能得到关于镜像对称更直接的证据。.(2) 研究3-维的Rozansky-Witten模型， 以构造Rozansky-Witten猜想的3-维的拓扑量子场论(TQFT)，并得到相应的纽结不变量. .(3) 研究1-维的sigma模型，讨论其与形变量子化的关系.

通过严格的Batalin-Vilkovisky量子化方法，我们研究了不同时空维数的一些西格玛模型，包括以辛流形为靶空间的一维Chern-Simons模型和以全纯辛流形为靶空间的三维Rozansky-Witten模型。 通过对一维Chern-Simon模型量子化的研究，我们发现其所对应的量子可观测量等价于形流形上的形变量子化，并且通过具体计算这一量子模型的配分函数，我们给出了代数指标定理的一个具有物理意义的证明。我们建立了Rozansky-Witten模型的严格数学基础，并通过其量子可观测量的分解代数得到了一个Atiyah-Segal类型的拓扑量子场论。