弦拓扑及其在辛几何与非交换几何中的应用

String topology is mathematical field that arises in the past decade, which studies the algebraic structures on the path space of smooth manifolds. This program mainly studies some algebraic structures in symplectic geometry and noncommutative geometry, such as Batalin-Vilkovisky algebras, noncommutative poisson algebras, which already appear in and/or are inspired by string topology. Main topics of the program include: 1) studying the algebraic structures on the Hochschild homology and cyclic homology of Fukaya categories that appear in symplectic geometry, and their relationships with symplectic homology and contact homology, as well as their relationships with string topology in the case of cotangent bundles; 2) studing the symplectic and Poisson structures in noncommutative associative and Lie spaces, and their topological signifcance in string topology. In this process, we will study the derived Morita theory of A-infinity categories and apply it to the computation of Fukaya categories, and will also study the noncommutative version of the Tian-Todorov lemma for Calabi-Yau manifolds.

弦拓扑是近十几年来兴起的一门学科，主要研究光滑流形的路径空间上的代数结构。本研究项目主要利用弦拓扑的背景，研究辛几何和非交换几何中出现的类似的代数结构，比如Batalin-Vilkovisky代数，非交换Poisson代数，等等。具体问题包括：1、研究辛几何中Fukaya范畴的Hochschild同调和循环同调上的代数结构，以及它们与辛同调、切触同调之间的关系；在余切丛情形，研究它们跟弦拓扑之间的关系。2、研究在非交换几何领域中，李代数和结合代数对应的非交换空间上的辛结构和Poisson结构，以及它们在弦拓扑情形（做为非交换空间的特例）的拓扑学意义。在这个研究过程中，我们并将研究A-无穷范畴的导出范畴意义下的Morita理论，并应用到Fukaya范畴的计算中；同时我们还会研究Calabi-Yau流形中田刚-Todorov引理在非交换几何下的表达形式。

弦拓扑是近二十年来兴起的一门学科，主要研究光滑流形的路径空间上的结构，它与数学物理、辛几何与非交换几何有着广泛的联系。本项目主要研究了与弦拓扑有关的一些代数结构以及它们在辛几何与非交换几何中的应用，研究取得了以下进展：厘清了弦拓扑中出现的Batalin-Vilkovisky代数与非交换几何特别是Calabi-Yau代数中出现的Batalin-Vilkovisky代数之间的关系，证明了数学家Rouquier的一个猜想；将弦拓扑中出现的一些结构应用到Fukaya范畴中，证明了Fukaya范畴上存在一个自然的非交换Poisson结构，以及其循环上同调上存在一个李双代数结构，等。我们还进一步研究了Koszul Calabi-Yau代数上的非交换Poisson结构，探讨了它与经典的如Gerstenhaber代数之间的关系。期间，受此资助，项目组共发表研究论文6篇，都发表于国际知名刊物；培养博士生3名，目前分别就业于重庆大学、天津大学和重庆理工大学；举办学术会议、研讨班多次；我们还邀请了数名国际知名大学和研究所的数学家访问四川大学，开展科研交流和合作。总之，项目取得了很大的成功。