乘积流形中子流形的几个整体性问题

乘积流形中子流形的整体性质问题是微分几何学家广泛关注的重要问题之一，目前微分几何学家主要利用几何直观及初等分析和ODE的方法研究问题。而利用复分析、椭圆和抛物方程进行乘积流形中子流形整体性质的研究还比较匮乏。本课题拟运用复分析、椭圆和抛物方程理论来研究以下四类问题：研究M^nxR中极小图的连通分支的最大个数问题；研究乘积流形MxN中逆紧极小子流形在M上的投影的有界性问题及其谱问题；研究当M ,N均为完备非紧黎曼流形时, MxN中图的平均曲率流的长时间存在性和收敛性。第一个问题是Meeks猜想在M^nxR中的推广；第二个问题与著名的Calabi-Chern问题密切相关；第三个问题是研究非紧黎曼流形的平均曲率流的一个重要课题。因此本项目的研究对乘积流形中子流形几何的发展有很大的推动作用。

本项目主要研究了三方面的内容：一、研究了当外围流形是具有有界几何的完备黎曼流形时，初始流形是闭的超曲面，考虑它在幂平均曲率流下的形变。我们在一定的曲率条件下建立了幂平均曲率流的延拓定理，推广了Y. Li的结果。该一定的曲率条件是指：在幂平均曲率流下，第二基本形式有下界以及全平均曲率有限。主要的研究方法是首先计算各种几何量的发展方程，运用Hoffman-Spruck的Sobolev不等式建立适用于广义平均曲率流的Sobolev不等式，在此基础上，结合Moser迭代技巧，建立广义平均曲率流的反向Holder不等式和Harnack不等式，从而证明我们的主要定理。二、 研究了出发流形是完备非紧黎曼流形的V-调和映照的存在性和唯一性。这包含了目标流形是非正曲率和正曲率两种不同情形，所采取的证明方法是不同的，事实上在处理目标流形是正曲率情形比非正曲率情形更加复杂，为把前者的条件做到最佳，我们建立了V-调和映照的Liouvile型定理，而且我们证明了在Bakry-Emery Ricci条件下的V-Laplacian 比较定理。我们也给出了V-调和映照的一些应用。三、给出了径向截面曲率满足一定衰减条件的完备黎曼流形中的平均曲率满足一定条件的完备逆紧子流形上的Omori-Yau极值原理。利用广义极值原理，我们分别得到了双曲空间中包含于伪球的逆紧子流形的平均曲率估计和双曲空间与欧氏空间的乘积流形中在双曲空间中投影包含于双曲空间中的伪球的逆紧子流形的平均曲率的估计。