时域散射与反散射问题的数值方法研究

The goal of this research is scattering and inverse scattering problems of acoustic and electromagnetic in time domain, focusing on their mathematical analysis and numerical computation. It plays very important role in science and engineering to solve scatting and inverse scattering problems due to their applications in high-tech and military. This kind of research has always been emphasized in mathematics and computation. But the research of scattering and inverse scattering in time domain was developed less enough than its in frequency domain. Although, in application area, computation of this kind of problems has been explored for many years, there are limited methods and less mathematical argument strictly. Meanwhile, a lot of research results of scattering and inverse scattering problems in frequency domain in recent years has been obtained and how to use them to problems in time domain is not to understand well. Our purpose in this term is to give new schemes for some typical scattering and inverse scattering problems of acoustic and electromagnetic and to provide their mathematical argument by use of deep mathematical theory.

本项目以时域声学和电磁学散射与反散射问题为主要研究目标，侧重于其数学分析和数值计算方法研究。散射反散射问题数学分析及数值方法的研究对科学及工程技术的发展至关重要，可应用于多个高新技术领域和国防科技领域。此类问题在应用数学及数值计算领域的研究一直深受重视。但是时域散射与反散射问题数值方法研究与目前频域问题研究相比发展的还不够充分。虽然在应用领域，此类问题的数值方法已有多年探索，但方法本身具有很大的局限性，数学理论方面还缺少严格的论证。另外，近年来丰富的频域问题研究结果在处理时域问题时该如何运用，还是不清楚的问题。本项目的研究目的是从数学分析和数值方法两方面，针对几个典型的声学和电磁学散射与反散射问题，运用比较深刻的数学方法，给出有一定创新性的数值方法并做出理论分析。

本项目以声波、电磁波和弹性波等波场的散射与反散射问题的数值计算方法理论及实现研究为主要研究目标，在以下问题上获得研究成果：. 1. 在时域声学和电磁学散射问题中，针对一类带有局部扰动（包括局部凸起和局部开洞穴）无限界面散射问题上，用延迟位势积分方程方法研究了散射问题的适定性和计算，并且使用时域线性抽样法，成功地完成了散射体局部扰动的重构。（成果1，3）. 2. 在时域声波和弹性波散射问题中，对障碍散射问题，研究了时域延迟位势积分方程方法在正问题的计算及障碍形状重构方面的理论分析以及计算方法的实现。（成果11，12）。. 3.在时域声学点源重构问题上，给出了一个有效的数值方法。（成果10）. 4.在声学散射（频域）无相位数据重构问题上，对裂缝问题、弹性体问题等，获得了有效数值方法。（成果4，5，7，9）. 5.在声学反源问题上，使用多频数据和Fourier方法，给出了一个有效算法。（成果6）. 6.对一般的不适定问题，在带有正则化的同伦算法和投影算法的理论和实现方面的研究上，获得了很好的成果。（成果2，8）。.以上成果在高技术领域有潜在应用，为建立高效数值方法充实了理论基础，保证计算结果的正确性，提高计算效率。