使用近场数据的电磁学与光学反散射问题数值方法

本项目主要研究使用近场数据的反散射问题的数值方法。在生命科学显微成像和半导体材料科学等问题的数学模型中，需要求解使用近场数据的电磁反散射问题。这与通常的使用远场数据的反散射问题有本质的不同，至今在理论和计算两方面的研究都还刚刚开始。由于近场数据中包含倏逝波等远场数据不包含的信息，只有使用近场数据才有可能实现超分辨率极限的成像。本项目试图对几个典型例子（来自于近场光学显微镜等物理问题）的数学模型从理论分析到数值计算方法等方面开展研究。本项目的特点是与高新科学技术紧密联系，研究最新科学技术中的应用数学和计算数学问题。本项目的研究成果一方面将丰富应用数学与计算数学理论，一方面将对人们理解高新技术中的科学现象有所帮助。此类问题的研究在国内外尚属刚刚开始。由于参加过数学物理反问题方面的重点项目研究，本项目申请人及其研究集体在电磁散射和反散射的数值方法方面有很好的研究基础，有能力完成预定研究目标。

本项目在近场散射和反散射问题的数值方法及其相关联的数学物理反问题数值计算方面取得如下一些成果：.1）对于近场散射问题，针对数值计算的三个主要困难---解的奇性（具有尖角的区域在尖角附近梯度无界）、大波数、多尺度（平面波或球面波与倏逝波并存），研究了具有针对性的数值方法。主要结果有：使用非多项式有限元方法和超弱变分方法对近场散射问题给出了数值计算方案，并作了理论分析和数值试验。理论结果和数值试验都表明，我们给出的方法能很好克服以上三个主要困难，取得很好的计算精度，并有收敛性的理论保证。.2）对于近场反散射问题，因为其具有较一般散射问题更严重的不适定性，其数值计算难度更大。特别是为了实现超越波长极限的分辨率，对数值方法要求的更为精细。我们针对以上困难，通过精细分析，提出了一个使用积分方程与Fourier变换相结合的数值方法，很好的实现了一个典型模型问题的重构，达到了理想的分辨率。我们给出了方法的基本数学理论分析。.3） 对与散射和反散射问题密切相关的一类Helmholtz方程和Maxwell方程的Cauchy问题，我们给出了有效地计算方法，完成了理论分析和计算试验。.4）对于多入射波情形障碍反散射问题，我们引入照明区域的概念，给出了一个快速优化算法，分析了该算法的收敛性。数值试验表明我们算法较通常的优化算法效率更高。.5）对一类由裂缝产生的散射问题，我们给出了由有限元、无限元以及PML技术结合的数值方法，给出了理论分析。.6）对与近场散射问题密切相关的粗糙表面散射问题， 我们探讨了使用锥形波入射的散射问题数值方法，给出了理论分析和数值试验。