零因子图结构与对应的环和半群

In algebra, one of the basic topics is to discuss the algebraic structures and properties of an algebraic object such as a semigroup or a ring, and which is leading to some important results together with wide applications. Defining zero-divisor graphs on rings or semigroups, one can study the algebraic theory of rings and semigroups, using the properties of graph theory. Also, one can discuss the graph theory by studing the algebraic properties of rings or semigroups. In this article, we mainly study the classification of the zero-divisor graphs of rings (including finite local rings); we study the graph to be a zero-divisor graph under some conditions, together with the classifications of associated rings or semigroups; we also study the complex of a semigroup and its homology groups, and so on. It is mainly to discuss the algebraic structures and properties of rings and semigroups by studying their graph structures. In this article, we are expecting for some useful results, which is our attempt at revealing some underlying algebaric structures of rings and semigroups, improving research level.

在代数学中，讨论环、半群的代数结构和代数性质是一个基本的研究课题, 具有重要的理论意义和广泛的应用价值. 在环和半群上定义了零因子图，就可运用图论的知识，研究环和半群的代数理论，或者根据环和半群的代数结构，来讨论其对应的图结构. 本课题拟研究交换环（包括有限局部环）对应的零因子图的结构；在某些限制条件下的零因子图的判定条件及其对应的环或半群的同构分类；半群对应的复形及其n维同调群结构等问题. 目的是通过对零因子图的结构分析来讨论相关半群或者环的代数结构与代数性质. 通过本课题的研究，我们希望能够得到一些高水平的研究成果，丰富半群和环的结构及同构分类方面的理论，提高研究水平.

半群和环的代数结构与代数性质是代数学中的一个基本的研究课题。本项目主要通过对零因子图的结构分析，得到半群和环的相关代数性质。首先我们研究了半群零因子图对应的复形，讨论其n维同调群结构；(i) 证明了不含圈，或不含四边形的零因子图对应团复形的n(n>0)维同调群同构于0。(2) 证明了不含三角形的零因子图对应团复形的n维同调群：除完全二部图（带一个角）的1维同调群非零外，其余半群图的n维同调群均为0。进一步，我们研究了环对应的团复形，得到了两类半局部环R对应的n维同调群结构。其次，我们讨论了半群的理想和子半群结构, 找到了一个理想降链L_p；特别地，当p是图的团数时，得到了零因子图的结构刻画：(1) 图中所有端点与L_p相邻；(2) 所有不属于L_p的点必与L_p中某点相邻。在此基础上我们讨论了满足(K_p)条件的半群图，得到了一系列半群的理想和子半群结构, 可以看作是对半群理论的一个补充。再次，我们继续研究星图加细，讨论了零因子图为星图加细的幂零半群的代数结构，证明当其导出子图G*_c是K_{1,2}时，半群S的代数性质，并且证明了该半群在同构意义下是唯一的。在此基础上令端点集为T，我们得到满足G*_c=K_{1,2}的半群在同构意义下的计数公式：g(n)=A(n)+6n+14. 最后，我们讨论了环的直积对应的零因子图，令R等于两个交换环R1,R2的直积，则当其对应零因子图的直径为1,2,3时，我们分别得到了R_1和R_2的代数结构，并给出了环的等价表述。此外，项目组在图谱理论中取得了有价值的进展：(1) 给出了平面图的拟拉普拉斯谱半径的可达上界；(2) 图的拟拉普拉斯矩阵最小特征值的下界。