多重遍历平均以及相关问题的研究

本项目主要研究多重遍历平均以及相关的一些问题。具体研究内容包括：研究相对弱情况下的多重遍历平均逐点收敛问题以及应用；讨论幂零系统的动力学性状，给出高阶几乎自守系统的刻画和应用；研究与多重遍历平均相关的遍历理论和拓扑动力系统的平行性理论以及它们的交叉等，刻画特征因子的拓扑对应以及运用相关方法来研究Furstenberg不交性问题、弱乘积回复问题等。项目的研究将阐明幂零系统涉及诸如回复属性等的一些动力学性状，为遍历论和拓扑动力系统中关于多重遍历平均问题的研究提供思路，也将对多重遍历平均逐点收敛问题的最终解决产生积极的影响。

本项目主要研究多重遍历平均以及相关的一些问题。具体成果包括：（1） 在极小系统最大幂零因子问题的研究中上取得重要突破：利用拓扑动力系统的一个重要代数工具——Ellis 半群证明了面作用和方体作用下对角点的极小性，最终证明了任意极小系统的高阶局部渐近关系为等价关系。这不仅给出了产生最大幂零因子的机制，还由此建立了极小系统的一个新的结构定理，可以作为工具研究一些相关的问题。证明中的一个关键结果可推导出关于相对稠密集的一个深刻组合性质。（2）得到了一些相对弱情况下的多重遍历平均收敛，例如方体作用的遍历平均等。（3） 研究了两个与幂零系统密切相关的两个问题：调和分析中著名的Bohr问题以及调和分析和微分方程等领域中几乎自守性质的研究。首先，我们给出了高阶Bohr问题的一个自然提法为：在相对稠密集中出现长为k的等差数列的公差全体是否为高阶幂零序列？证明了问题在忽略一个零密度集合意义下是成立的。另外我们引入高阶几乎自守系统的概念，并且进行了细致的研究，给出它的各种刻画。（4）研究动力系统（尤其是幂零系统）的回复性、复杂性等。