金融中的反问题及数值计算

本项目研究金融中的反演问题及数值计算，它是金融数学的一个重要分支。我们将利用不同的数学工具（如偏微分方程、反演问题的正则化方法、优化理论、随机微分方程、蒙特卡洛模拟等）处理金融中的反演问题，实现数理金融的模拟过程，解决计算金融的有关问题。着重研究基于期权定价Black-Scholes模型以及有关的参数反演问题，对金融衍生证券的价格波动的不适定问题的反演理论和计算方法进行研究分析。采用理论研究与实证模拟相结合的研究方法，将反演计算方法引入波动率随机性问题的研究中，通过建立期权定价反演问题模型，再将结果运用到正问题- - 期权定价的研究中。我们还研究随机利率模型下期权定价问题，同时根据反演出来的参数进行市场分析和预测，分析市场风险，并结合我国金融市场的实际，探讨金融问题的数值方法，以便对复杂的金融现象进行有效的分析，因此该项目无论从理论上还是实际上均有重要意义。

本项目主要研究金融中反问题及数值方法，它是金融数学与计算数学的一个重要交叉研究领域。对金融中的反问题，近十多年来国内外已有一些研究成果，但金融反问题的理论与应用，尤其是相关数值计算方法方面，有许多问题值得进一步深入研究。我们利用偏微分方程、反演问题的正则化方法、优化理论、蒙特卡洛模拟等数学工具处理金融中的反问题及数值计算。着重研究基于期权定价Black-Scholes模型以及有关的参数反演问题，欧式期权定价的反问题, 跳跃-扩散模型的参数校准问题, 美式期权定价问题的数值方法,随机利率模型中的反问题及相关其它问题,提出了一些解决问题的新思路和新方法, 主要成果包括基于Black-Scholes模型，在一定条件下得到了期权价格函数的有界性结果，并且使用分析方法、正则化和投影梯度算法研究了局部波动率重构问题; 用信赖域方法，基于单因子的Hull-White模型和Black-Scholes模型，讨论了漂移项和波动率的校准问题，数值结果表明了算法的有效性; 用正则化方法，探讨跳跃-扩散模型的波动率校准问题，我们设计了一个基于最小相对熵函数的改进正则化算法,给出了高斯牛顿迭代算法并证明了其算法的收敛性; 对随机利率模型中的反问题，研究由零息债券的市场价格重构短期利率模型和推广Hull-White模型中隐含波动率的反问题，基于线性化方法、引入幂级数函数讨论参数校准问题，利用正则化方法得到问题解的存在性、稳定性和所满足的必要件，并给出数值算例；此外我们还给出了美式看跌期权定价的隐-显和显-隐交错算法，CIR模型参数校准的加权极大似然法, 随机波动率模型下算术亚式期权的Monte-Carlo模拟定价, 并用改进的Newton-Raphson方法计算隐含波动率等, 得到了一些新结果，这些成果无论从理论上还是实际上均有重要意义。