声学和电磁学中某些多频反源问题的数值分析与计算

The scattering and inverse scattering theory is an important field in mathematics and physics. The inverse source problems are new topics in recent years. We mainly consider the following multi-frequency inverse source problems: 1.The multi-frequency inverse source problem for the Helmholtz equation. We will reconstruct the source with the Cauchy data; 2.The multi-frequency inverse source problem for the Maxwell equations. We will reconstruct the source by Fourier method.3. The phaseless inverse source problem. We will reconstruct the source with phaseless data. Our aim is to provide theoretical analysis and effective numerical methods for the inverse source problems. The study on these problems is important in practice. Since our team have good base on numerical methods for the scattering and inverse scattering problems, we can accomplish the preconcerted objective.

声学和电磁学反散射理论是数学物理中的重要研究领域。多频反源问题是近年来一个新的研究课题。本项目将研究声学和电磁学中的多频反源问题：1.Helmholtz方程多频反源问题:通过多频辐射场的部分Cauchy数据重构均匀介质中的源函数；2. Maxwell方程多频反源问题:通过多频辐射场数据重构均匀介质中的源函数；3.带有无相位数据的多频反源问题: 通过多频辐射场的模来重构源函数。本项目的目标是为反源问题提供理论分析和有效的数值计算方法。本项目的研究成果一方面将丰富应用数学和计算数学理论，一方面对人们理解反源问题有所帮助。本项目申请人及其研究集体在散射和反散射的数值方法方面有很好的研究基础，有能完成预定目标。

声学和电磁学中的多频反源问题与生物医学工程 、声层析成像 以及天线合成方面有着直接联系。项目主要成果有：一是对基于远场数据和无相位远场数据的Helmholtz 方程多频反源问题分别提出了Fourier方法和恢复相位信息的参考源方法，进行了稳定性分析和误差估计，对声波方程中多极子源的反演，提出了一种快速的直接成像方法；二是利用参考球技术和点源叠加方法，得到了基于无相位数据的Helmholtz方程障碍反散射和介质反散射问题的唯一性结果，并提出有效的数值算法；三是对Helmholtz方程和Laplace方程边值问题提出了带有正则化策略的特殊函数展开方法，进行了稳定性分析和误差估计; 四是利用机器学习方法研究了障碍重构问题。这些结果发表在Inverse Problems、Inverse Problems and Imaging、 Applied Mathematics Letters、Journal of Computational and Applied Mathematics等重要学术杂志上，实现了预期目标。这些研究成果一方面丰富了应用数学和计算数学的理论与数值方法，一方面对人们理解多频信息反源问题有所帮助。