金融模型参数校准反问题及数值分析与应用

In this project, we study inverse problems for parameter calibration in finance models, numerical analysis and applications, which is a new important research field in Computational Mathematics. We mainly consider the volatility or other parameters calibration for the closely financial markets model (jump-diffusion model, stochastic volatility models, stochastic interest rate models etc.). For the ill-posedness of model calibration, based on the existing regularization techniques, we adopt multidisciplinary combined methods on the theoretical study, numerical simulation and empirical research. We build the regularization models for different papameter calibration problems, and discuss corresponding regularization methods (especially entropy regularization) and optimization inversion methods (especially trust region and gradient projection methods). By studying the inversion theory and computional methods for ill-posed inverse problem of financial model calibration, we explore their application in risk management. The objective of this project is to provide a theoretical analysis and efficient numerical methods for parameter calibration problems of some financial models. Parameter estimation and numerical simulation of these algorithms used in the financial models will be a service for the financial market, and have a good application prospect. Our methods and results are expected to provide a more feasible way to study these problems, and in fact has an important significance both in theory and in application.

本项目研究金融模型参数校准反问题及数值分析与应用，它是计算数学中的一个新的重要研究领域。我们主要考虑与金融市场接近的模型（跳-扩散模型、随机波动率模型、随机利率模型等）对波动率等参数进行校准，针对模型校准的不适定性，在已有正则化技术的基础上，主要采用理论研究、数值实现与实证模拟相结合，多种学科互相融合的研究方法，建立不同参数校准问题的正则化模型，并研究相应的正则化(特别是熵正则化)和最优化反演算法（特别是信赖域和投影梯度法），通过对金融模型校准不适定问题的反演理论和计算方法的研究分析，探讨它们在风险管理中的应用。本项目的目标是为某些金融模型参数校准问题提供理论分析和有效的数值计算方法。这些算法应用于金融模型的参数估计及数值模拟，为金融市场提供服务，具有良好的应用前景。我们的方法和成果可望为解决这类问题提供比较可行的途径，对这些问题的研究，无论在理论上还是在实际上都有重要意义。

本项目研究金融模型参数校准反问题及数值分析与应用，它是计算金融的一个重要研究领域，主要考虑跳-扩散模型、利率模型、期权定价模型和随机波动率模型的参数校准反问题，针对模型校准的不适定性，在已有正则化技术的基础上，采用理论研究、数值实现与实证模拟相结合，多学科融合的研究方法，建立参数校准问题的正则化模型，研究正则化和最优化反演算法，并探讨它们在风险管理中的应用。主要成果包括基于Merton跳-扩散模型，研究光滑局部波动率的校准问题，利用Tikhonov正则化方法得到一个欧拉-拉格朗日方程，然后研究求解方程波动率的迭代算法；给出了Merton跳-扩散模型的均值修正等价鞅测度下的风险中性特征函数，研究期权定价的COS方法，采用相对熵正则化方法对跳-扩散模型进行参数校准，通过数值模拟和实证分析验证了校准方法的有效性和可靠性；讨论了Kou跳-扩散模型下美式期权定价的隐–显三阶SBDF时间离散格式，引入参数c∈[0,1]，在适当假设条件和时间步长限制下，证明了隐–显三阶SBDF方法对于所有c是条件稳定的；基于广义Hull-White利率模型，研究了由零息债券市场价格进行波动率和利率长期均值的校准问题，利用正则化方法，建立校准问题的正则化模型，证明了其解的存在性、稳定性和所满足的必要条件，数值算例和实证分析表明了方法的可行性；研究了欧式期权瞬时波动率校准的非重组三叉树法和熵二叉树法，给出了其收敛速度，并采用外部罚方法将问题转化为非线性无约束优化问题，研究了求最优解的拟牛顿算法，最后通过S＆P500指数的期权数据验证了所提模型和算法的有效性；对中小企业进行了信用风险的特征分析，基于相关分析、因子分析的Logit回归进行了实证研究，构建信用评分和预测违约风险的模型，结果表明Logit模型能很好地进行违约风险评估；探讨了利用Merton模型与Logit模型相结合进行违约概率的评估，并取得了初步进展与较好的实证结果。这些成果为某些金融模型参数校准反问题提供了理论分析和有效的数值计算方法，具有重要的科学意义和应用前景。