具有随机参数的分数阶非线性系统的动力学及控制研究

Recently, researches on fractional order system and stochastic phenomena have become the hot topics in the field of nonlinear dynamics. Up to now, the study on fractional order systems is mainly conducted for the deterministic systems, while there're a lot of fractional order systems have the stochastic features. It will be close to reality by studying on both of fractional order and stochastic problems. Based on the polynomial chaos theory, some matured research methods for fractional order dynamical systems, and the modern control theory, our program is aimed to exploring some theoretical and numerical methods for studying the nonlinear fractional order dynamical systems with random parameter. Using the global analysis, plenty of nonlinear phenomena in this kind of systems, such as bifurcations, chaos and crisis, coexist attractors and their basins, and the transforms between different motions are exhibited. Then, comparison between the obtained results with the phenomena in the deterministic system and integer order systems, illustrates the influence for the dynamical behaviors of the random parameter. In order to get the better and more stable control strategies, based on the different aims of control, considering the effect of the random parameter to the dynamical behaviors and control, especially around the bifurcation and the crisis points, the control methods are designed for the period doubling bifurcation, Hopf bifurcation and chaos.

在非线性动力学的研究领域中，分数阶系统和随机现象已成为近年来的学术热点。目前，关于分数阶系统的研究大部分集中于确定性系统，而现实中很多分数阶系统存在随机特性，因此，同时考虑分数阶和随机问题将使系统更贴近实际。本项目以具有随机参数的分数阶非线性动力系统为对象，结合混沌多项式逼近理论、分数阶动力系统分析方法和现代控制理论，探索出一套理论和数值方法；借助全局分析策略，研究此类系统丰富的动力学现象，如分岔、混沌及其激变、共存吸引子和其吸引域，以及多种动力学行为的转化机理；将其结论与确定性和整数阶情形相比较，明确随机因素对系统行为的影响；针对倍周期分岔、Hopf分岔和混沌等运动，根据不同控制目标，综合考虑随机参数对系统动力学行为及控制的影响，特别是在分岔点和混沌激变处的作用，发展和设计一套控制方法，以期得到更切合实际且稳定的随机控制策略。

本项目针对具有分数阶项和随机因素的非线性动力系统，开展了如下一些主要研究：1.研究了连续型和离散型确定性Duffing系统的丰富动力学行为，并对混沌鞍在混沌世界内的客观存在和它在孕育混沌发展过程中的潜在作用进行了研究。特别是对于瞬态混沌和持久混沌的发生、发展从全局角度进行了深入的探索，阐明了系统不同动力学行为间的转迁机制；2.针对随机非线性系统的全局分析问题，利用广义胞映射方法，提出图分析算法和矩阵分析算法，研究了噪声激励下非线性振子的瞬态和稳态响应以及首次穿越时间问题。通过与蒙特卡洛法进行对比，验证了方法的准确性。并进一步从全局角度出发，对谐合激励和泊松白噪声激励下压电磁弹性能量收集系统进行了响应分析；3.运用正交多项式逼近法，对几类具有不同随机参数的非线性系统的随机动力学行为进行了研究。在方法有效性验证的基础上，采用等价确定性系统的集合平均响应与原确定性系统的确定性响应进行对比，阐明随机参数对系统动力学行为的影响。此外，还运用统计复杂度和标准Shannon熵研究了噪声共同作用下非对称双稳系统的复杂动力学行为进行了研究；4.针对具有Caputo型分数阶导数项的典型系统，采用随机平均法和蒙特卡洛数值模拟方法对系统的随机响应进行了研究。通过与数值解的对比，说明了解析方法的有效性。讨论了分数阶导数的阶数、分数阶导数项的系数，以及高斯白噪声强度对系统响应产生的影响。还基于模拟方程法，提出了一种求解随机分数阶微分方程初值问题的数值方法，对于含两个分数阶导数项线性常微分方程的初值问题，运用该方法给出了数值解法的显式结果；5.针对近距离航天器交会对接时，追踪航天器与目标航天器相对轨道的控制问题，基于滑模控制原理和分数阶导数的相关性质，设计了整数阶控制器和分数阶控制器。分别运用两种控制器对系统实施控制，并对控制效果进行了数值仿真和对比，阐明了分数阶控制器的作用机理和特点。