反应扩散捕食模型的平衡解及相关问题

本项目拟研究带有保护区和年龄结构的反应扩散捕食模型及相关问题。第一部分内容，研究正平衡解的存在性、分支与稳定性，并且对于退化模型，还研究当参数变化时正平衡解的渐近极限，以及用摄动方法得到的模式（pattern）。这些渐近极限和模式与对应的椭圆型方程（组）的边界爆破问题有关。第二部分内容，研究椭圆型方程（组）的边界爆破问题，讨论边界爆破解的存在性、在边界附近的渐近性和唯一性。.力图在先验估计、正则性、不动点指数的计算、渐近分析、迭代方法、比较原理和上下解的构造等方法上有所改进和发展，取得系列有特色和新意的研究成果，揭示和解释一些重要的自然现象。

根据原研究计划，本项目主要研究了l两个方面的问题：1. 具有营养关系的三层食物链的反应扩散方程组、带有阶段结构的Holling-II、Holling-III型反应扩散捕食模型、一般形式的Schnakenberg反应扩散方程组、带有修正的 Beddington-DeAngelis 响应函数的反应扩散捕食模型，分别对于齐次Dirichlet边界条件和齐次Neumann边界条件，系统讨论了常数平衡解的稳定性，非常数正平衡解的存在性、分支与稳定性。2. 系统研究了带变系数和低阶源项的p-Laplace椭圆型方程的边界爆破问题（p>1，低阶源项的幂指数m<p-1，高阶源项是一般形式的正规变化函数）、带非线性梯度项的变系数椭圆型方程的边界爆破问题、变系数的logistic型p-Laplace椭圆型方程的边界爆破问题（两个源项都是一般形式的正规变化函数）、带弱超线性源项的变系数p-Laplace椭圆型方程的边界爆破问题（弱超线性源项近似于幂函数和对数函数的乘积）。利用正规变化函数理论和经典分析方法（包括先验估计），通过构造适当的辅助函数、精细的分析和估计、建立恰当的比较原理，得到了解的存在性和解在边界附近的爆破速率估计；并对一些特殊情况，得到了解在边界附近的爆破速率的精确值和解的唯一性。还研究了一个变系数、反应项是一般正规变化函数并且在初始时刻和边界上都爆破的p-Laplace抛物型方程，证明了解的存在性、唯一性和解在边界附近的爆破速率。. 此外，结合研究生的培养，增加了行波解（存在性、稳定性、渐近性等），流体力学方程（解的整体存在性、有限时刻爆破、关于初值的非一致连续性），自由边界问题的相关研究。