无散度李代数与哈密尔顿李代数的不可约表示

Divergence-free Lie algebras and Hamiltonian Lie algebras play important roles in dynamics, differential equations, symplectic geometry and physics. In this project, we are going to study the representations of divergence-free Lie algebras and Hamiltonian Lie algebras, with main focus on the irreducible representations with finite multiplicities, and their classifications. We shall construct irreducible representations using the irreducible representations of Witt type Lie algebras and via the method of mixed product. We shall classify these representations under certain conditions through techniques such as the representations of ‘local Lie algebras’.

无散度李代数和哈密尔顿李代数，在动力学、微分方程、辛几何和物理等研究领域有着广泛的应用。本项目主要研究无散度李代数和哈密尔顿李代数的表示理论，重点研究重数有限的不可约表示，并给出这些表示的分类。我们将利用Witt型李代数的不可约表示理论，以及混合积等方法来构造不可约表示，并利用“局部李代数”的表示等研究方法给出一定条件下的表示分类。

本项目首先研究了无散度李代数和哈密尔顿李代数的表示理论。我们利用Witt型李代数的不可约表示理论，以及混合积等方法构造了这两类李代数的不可约表示。然后，受该研究工作的启发，我们构造了一些李超代数的不可约表示。我们的第三项工作研究了顶点算子代数对应的intertwining算子代数的性质，给出了其Jacobi恒等式的S_3对称性，并给出了其对应的张量范畴。我们的第四项研究工作研究了仿射Deligne-Lusztig簇的连通分支，对split约化代数群和一般线性群的Weil限制Res_(E/F) GL_n，确定了任意parahoric level下的闭的仿射Deligne-Lusztig簇的连通分支。