C*代数的结构与逼近研究

In this research project we will first study the classification problem of simple amenable z-stable C*-algebras without unit by Elliott invariant and the classification properties and problem of some special simple amenable C*-algebras without z-stability by Cuntz-semigroup, and the uniqueness theorem and classification theorem of the inductive limits of the finite direct sums of simple C*-algebras whose tensor product by a UHF algebra with infinite type has generalized tracial rank no more than one. Second we will study the classification and structure properties concerning regularity and the classification and structure numerical invariants such as tracial rank and real rank, to get the hereditary of these properties and invariants between the algebra and its large subalgebras, and their changes under different approximations (specially tracial approximation). Moreover we would apply these research results to certain C*-dynamical systems, especially the graph C*-dynamical systems with quasi-free action by using large subalgebra construction and tracial approximation. Finally we will extend these results to weak amenable C*-algebras, CPAP，CBAP，OAP and exact algebras by using the structure of certain approximation property of finite dimension C*-algebras.

本项目第一个研究目标是单的没有单位元的顺从Z稳定C*-代数用Elliott不变量的分类问题和单的非Z稳定的特殊顺从C*-代数用Cuntz半群的分类及其相关问题，以及张量任意一个无限型UHF代数后广义迹秩小于等于一单C*-代数有限直和的诱导极限的唯一性定理和分类定理。第二个研究目标是正则性相关的分类与结构性质与迹拓扑秩和实秩等C*-代数分类与结构的数字不变量在大子代数与原C*-代数之间的传递性以及在不同逼近（特别是迹逼近）下的变化。进一步通过构造大子代数和适当迹逼近的方法将分类结果、Cuntz半群以及正则性与数字不变量相关的研究结果应用到一定的C*-动力系统，特别是拟自由作用图C*-动力系统中。第三个研究目标是利用有限维逼近一般方法将研究结果推广到弱顺从性C*-代数、CPAP代数、CBAP代数、OAP代数、或者一般的正合C*-代数上。

算子代数是20世纪30年代，由Murray和von Neumann为研究量子力学而发展起来的数学分支。目前，算子代数已与数学和物理的多个分支相交叉，建立了密切多样的联系。本项目的主要研究对象是C*-代数的结构与逼近，除此之外还涉及到算子理论、量子信息和算子代数上的保持等相关问题的研究。本项目的第一个研究目标是单的没有单位元的顺从Z-稳定C*-代数用Elliott不变量的分类问题和单的非Z-稳定的特殊顺从C*-代数用Cuntz半群的分类及相关问题，以及张量任意一个无限型UHF代数后广义迹秩小于等于一单C*-代数有限直和的诱导极限的唯一性定理和分类定理。第二个研究目标是正则性相关的分类与结构性质与迹拓扑秩和实秩等C*-代数分类与结构的数字不变量在大子代数与原C*-代数之间的传递性以及在不同逼近（特别是迹逼近）下的变化。进一步通过构造大子代数和适当迹逼近的方法将分类结果、Cuntz半群以及正则性与数字不变量相关的研究结果应用到一定的C*-动力系统，特别是拟自由作用图C*-动力系统中。第三个研究目标是利用有限维逼近一般方法将研究结果推广到弱顺从性C*-代数、CPAP代数、CBAP代数、OAP代数、或者一般的正合C*-代数上。本项目还得到了一些算子理论、量子信息和算子代数上的保持等相关问题的研究结果。这些研究成果可以为非交换几何、动力系统及量子力学提供更广泛的研究基础。