半有限von Neumann代数中的算子结构与C*代数的表示

There have always been strong connections between structures of operators and representations of C*-algebras. These two sides both play an important role in the field of operator theory and operator algebras. A sign of this is the Weyl-von Neumann theorem, which states that every self-adjoint operator can be expressed as a diagonal operator up to an arbitrary small Hilert-Schmidt pertubation. Later, Voiculescu proved the non-commutative Weyl-von Neumann theorem for *-homomorphisms of separable C*-algebras into B(H), which was applied in BDF theory, KK-theory, Classification of C*-algebras, and many other related problems. In the current project, we develop a series of techniques to consider the following problems in the setting of semifinite von Neumann algebras M with separable predual:.1. Kato-Rosenblum theorem for single self-adjoint operator with respect to trace norm pertubation and diagonalizable problem of n commuting self-adjoint operators up to arbitrary small Schatten-n norm perturbation for n>1. Specially, for n=2, consider Diagonalizable problem of normal operators in M up to arbitrary small Hilbert-Schmidt perturbation;.2. Problems relative to approximately unitary equivalence of *-homomorphisms of C*-algebras into M. We mainly consider Voiculescu's non-commutative Weyl-von Neumann theorem and approximate summand problems around AH algebras and nuclear C*algebras in M;.3. Density problems of irreducible operators and reducible operators in M.

算子结构与C*代数表示之间存在紧密联系,且二者均为算子理论与算子代数中的重要研究内容.Weyl-von Neumann定理指出自伴算子可以在HS范数的小扰动下对角化.Voiculescu对可分的C*代数证明了上述定理的非交换形式,推动了算子理论与算子代数的进一步发展,相关研究十分广泛.本项目拟在可数可分解的,半有限von Neumann代数M中发展一系列证明技巧与方法,研究与上述定理相关的若干问题,内容如下:.1. 在M中,自伴算子在迹范数小扰动下对角化的Kato-Rosenblum问题,以及当n>1时,n个交换自伴算子在Schatten-n范数小扰动下的同时对角化问题;.2. 从可分C*代数到M的近似*表示问题.主要围绕AH代数考虑上述Voiculescu定理以及近似直接和的相关问题;.3. 不可约算子以及可约算子在M中的稠密性问题.

1. 项目背景: 算子结构与C*代数表示之间存在紧密联系,且二者均为算子理论与算子代数中的重要研究内容.Weyl-von Neumann定理指出自伴算子可以在HS范数的小扰动下对角化. Voiculescu对可分的C*代数证明了上述定理的非交换形式,推动了算子理论与算子代数的进一步发展,相关研究十分广泛..主要研究内容: 本项目在可数可分解的半有限von Neumann代数M中发展一系列证明技巧与方法, 研究与上述定理相关的若干问题, 内容如下:.(1). 在M中,自伴算子在迹范数小扰动下对角化的Kato-Rosenblum问题,以及当n>1时,n个交换自伴算子在Schatten-n范数小扰动下的同时对角化问题;.(2). 从可分C*代数到M的近似*表示问题. 主要围绕AH代数考虑上述Voiculescu定理以及近似直接和的相关问题;.(3). 不可约算子以及可约算子在M中的稠密性问题..3. 重要结果: .(1). 我们在半有限von Neumann代数M中, 对Halmos第四问题给出了肯定的回答. 具体的, 我们证明了当n大于等于2时, M中的n个交换的自伴算子可以在强Schatten-n范数的小“紧”扰动下同时对角化. 相关论文于2020年发表在《Advances in Mathematics》..(2). 我们通过发展全新的研究工具（范数绝对连续投影）对与M中的自伴算子关于强迹类范数不能对角化的本质原因进行了刻画..(3). 我们关于非交换的Weyl-von Neumann定理取得了重要研究进展，在半有限von Neumann代数中对AH代数上的表示证明了非交换的Weyl-von Neumann定理, 相关论文已经投稿, 正在审稿中..(4). 我们证明了在任何可分的因子中，不可约算子关于算子范数都是稠密的. 更进一步，本人证明了在半有限von Neumann代数中不可约算子关于“强”酉不变范数都是稠密的. 特别的, 不可约算子关于迹类范数在正规算子的集合中也是稠密的..(5). 我们证明了，在任何因子中，每个算子都可以表示为两个不可约算子的和..(6). 我们在II_1型因子中, 实现了一大类中间子因子格..4. 科学意义：以上结论对于刻画von Neumann代数中算子结构，以及深入推进相关分类工作具有重要的科学意义.