半导体流体动力学与不可压缩磁流体动力学方程的若干数学问题

本项目主要研究半导体流体动力学模型解的稳定性和不可压缩磁流体动力学方程组解的衰减性。半导体流体动力学模型的主导方程是带有外力项的可压缩Euler方程组，这里的外力由洛伦兹力和松弛项构成。我们关心的是该模型在有界区域上非平凡稳态解稳定性的四种主要研究情况：1）简化情形，即不考虑量子效应和热交换；2）只考虑量子效应；3）只考虑热交换；4）既考虑量子效应又考虑热交换。目前只研究了一维时1）和3）非平凡稳态解的稳定性，我们将考虑一维时2）和4）的情况。在高维无旋情形时，对前三种情形，已经证明了非平凡稳态解的存在性，但尚无稳定性的结果，我们计划对此进行研究。我们也将研究高维径向对称时非平凡稳态解的存在性。不可压缩磁流体力学方程组与不可压缩Navier-Stokes方程组相似，也是一个半线性非局部抛物型方程组。对于前者只研究了全空间的情形。我们将考虑半空间和外区域情形的有关研究问题。

在国家自然科学基金资助下，我们出版了教科书“分析数学讲义”。该教科书，以多元微积分若干习题为起点，系统介绍了分析数学的光滑逼近理论，积分理论，Hardy-Littlewood极大算子理论，广义函数理论，Sobolev空间理论，抽象函数理论，Aubin-Lions紧性理论以及现代分析技术-弱收敛方法，最后以概况介绍现代分析数学的六个主要方向为结尾，以较高观点介绍了分析数学的基本理论和方法。贯穿全书，我们展现了对数学及数学教育的一些理解和认识。该书作为东北师范大学本科生必修教材反应很好。我们另外发表了7篇SCI检索论文。在三个方面取得了重要学术进展。（1）对偏微分方程的强化问题，我们引入了一种研究复合介质上椭圆型及抛物型方程解的渐近行为的新框架，即通过变分方法和带边界积分均值的Poincaré不等式建立解的先验估计，利用介质的几何结构，通过构造若干精细的检验函数，精确地刻画方程解的渐近行为。克服了由椭圆型方程Neumann问题缺少唯一性所带来的困难，所得结果推广了数学家 Brezis, Caffarelli 和Friedman的一个工作以及数学家Buttazzo和Kohn的一个工作。（2）对趋化模型中行波稳定性问题，我们利用Hopf-Cole变换结合加权能量估计，证明了波前行波的非线性稳定性，克服了对数型敏感函数的奇性以及渐近状态为真空所带来的困难，解决了Zhi-An Wang及Tong Li提出的一个公开问题。这种稳定性说明生物物种的演化是可观测的，解释了实验现象的可靠性；并且从数学角度来看，我们的方法可以应用于一大类行波具有真空的数学模型。（3）在流体力学及相关双曲方程领域我们得到了3个结果：利用能量方法，我们证明了1维及2维镜像等温可压缩Navier-Stokes方程组当初值具有紧支集时，其光滑解在有限时刻破裂，从而推广了数学家辛周平的一个工作；根据爱因斯坦的狭义相对论理论，我们建立了宇宙学中高温高速带点粒子流支配的相对论Euler-Poisson方程组，利用Schauder不动点定理结合能量方法，我们考察了该方程组解的适定性，非相对论极限及松弛极限等数学分析性质；利用Young测度理论结合粘性消失法，我们证明了Hunter-Saxton方程耗散弱解的整体存在性，并得到了逼近解的收敛速度估计，所得结果推广了数学家J.Hunter及郑玉玺的一个工作。