半导体流体动力学模型的数学理论研究

We are interested in the mathematical properties of unipolar and bipolar hydrodynamic (HD) models and quantum hydrodynamic (QHD) models for semiconductors in bounded domain. HD models are compressible Euler-Poisson equations with relaxation, and QHD models are modified HD models with nonlinear third order term in consideration of the quantum effect. For both models, we consider three kinds of problems. The first one is the structure of steady states, we will consider three problems: first is the existence and profiles of multi-dimensional transonic shock solutions and transonic smooth solutions to the HD models; second is the multiplicity of steady states to the QHD models; third is the concentration of steady state to the QHD models..The second kind of problem is the asymptotic stability of steady state. It includes the stability of subsonic steady states with sonic boundary condition, the stability of transonic shock solutions, the stability of transonic smooth solutions to the HD models, and the stability of transonic solutions to the QHD models..The third kind of problem is the singular limit for the models. There are three singular limits: the zero-relaxation limit, the quasi-neutral limit, and the semiclassical limit for the QHD models. We are mainly interested in the influence of distribution of doping profile, and the effect of initial layers and boundary layers.

本项目关注有界区域上单极和双极半导体流体动力学(HD)模型和量子流体动力学(QHD)模型的数学分析性质。HD模型是带有松弛项的可压缩Euler-Poisson方程组，QHD模型相对于HD模型增添了非线性三阶量子修正项的作用。针对这两个模型，我们拟研究三类问题。第一类是静态解的结构问题，主要包括三个具体问题：一是HD模型高维跨音速激波解和跨音速光滑解的存在性和形态；二是QHD模型静态解的多解性；三是QHD模型静态解的集中现象。.第二类是静态解的稳定性问题。包括HD模型边界音速的亚音速静态解的稳定性，跨音速激波解的稳定性，跨音速光滑解的稳定性，和QHD模型跨音速解的稳定性。.第三类是解的奇异极限问题。包括零松弛极限、拟中性极限和QHD模型的半经典极限。我们主要关心杂质分布的影响和初始层、边界层的作用。

在国家自然科学基金面上项目资助下，项目组发表13篇SCI检索论文，指导毕业5名硕士研究生，7名博士研究生，举办1次学术会议。关于半导体流体力学模型的数学理论取得了以下学术进展。..1.我们主要研究了半导体流体力学模型定常解的结构。.首先，对1维模型，我们证明了，当杂质为亚音速时，系统具有亚音速解、超音速解；当松弛时间很大时，具有激波跨音速解；当松弛时间很小，系统具有光滑跨音速解。当杂质为超音速时，解的结构完全不同：此时没有亚音速解；如果杂质很小或者松弛时间很小，系统也不具有超音速解和跨音速解；但是当杂质接近音速并且松弛时间很大时，系统具有超音速解和跨音速解。.当杂质为跨音速时，我们证明了，当杂质为亚音速占优时，定常解结构与杂质为亚音速时相似，当杂质为超音速占优时，定常解结构与超音速杂质的情形相同。我们同时精确描述了光滑跨音速解的正则性，完全分类了无穷光滑跨音速解。.进一步，对高维模型，针对径向解，我们证明了模型具有唯一亚音速解，至少一个超音速解；当松弛时间大时，模型具有无穷多激波跨音速解；当松弛时间很小，并且杂质具有光滑性时，具有无穷多光滑跨音速解。.这些结果表明，杂质材料的密度和半导体器件的松弛参数决定了半导体流体力学模型定常解的结构，从而决定了半导体器件的工作性能。.2.我们也研究了具时间退化阻尼的可压Euler方程组的长时间行为。通过建立最大值原理，并基于凸性方法，我们发现存在临界退化指标，当退化弱于临界值时，方程具有大初值整体解；当退化强于临界值时，与经典可压缩Euler方程组类似，即使任意小初值的解亦会爆破。当退化弱于临界值时，我们进一步证明了整体解具有长时间耗散效应，即解收敛到扩散波，并且得到了最优收敛速度。