半导体流体动力学模型及若干相关双曲问题的数学分析

We plan to study four types of PDE problems.The first one is the stability of nontrivial stationary solutions of the multidimensional semiconductor hydrodynamic model with quantumm effect or heat transfer with respect to cases of the whole space with quantumm effect, the bounded domain with heat transfer and the exterior domain with heat transfer, respectively. The second one is blow-up for the compressible Navier-Stokes equations in the cases of both lowing down the assumption on the decay rate of the initial data at infinity and relaxing the restriction on the state of the equations. The third one is the convergence of dispersive approxmating solutions on the Camassa-Holm equation and the related equations.The fourth one is the quenching problem for nonlinear singular wave equation in MEMS,where quenching means the solution tends to 1 in finite time.

本项目拟研究四类偏微分方程问题。一是分别针对全空间上量子化模型，有界区域上及外区域上具有热交换效应情形来研究高维半导体流体动力学模型解的稳定性等问题。二是对可压缩Navier-Stokes方程组考虑在降低初值无穷远处衰减速率的假设和放宽对状态方程的限制这两种情况下解的破裂问题。三是研究Camassa-Holm方程等相关方程解的色散逼近性质，主要研究色散逼近解的收敛性问题。四是考虑微电子系统中一类具有奇异非线性项的高维波方程解在有限时刻趋向到1的终止问题。

在国家自然科学基金面上项目资助下，项目组发表了17篇SCI检索论文，出版1部学术专著，指导1名博士后出站，指导2名博士研究生毕业，指导5名硕士研究生毕业。在以下4个方面取得了重要学术进展。.1. 对半导体流体动力学（HD）模型，我们研究了复杂的完全双极模型初边值问题亚音速静态解的存在性和渐近稳定性；重组增生效应下双极模型亚音速静态解的存在性和渐近稳定性；在一般的杂质函数条件下，双极HD模型收敛到漂移扩散模型的松弛极限问题。前人结果均考虑亚音速小解的动力学行为，一个很重要的问题是半导体模型大解的数学分析性质。为此，我们研究了1维半导体HD模型在音速边条件下静态解的分类问题，首次讨论了半导体模型平衡态的多解性，正则性和解的形状。随着半导体器件微型化的发展，载流子传输过程中的量子力学效应越来越明显。因此，项目组研究了双极量子流体动力学（QHD）模型亚音速静态解的存在性和稳定性。基于这一稳定性结果，我们进一步考虑了模型的半经典极限，研究了量子模型与经典模型的渐近关系。.2. 对微电子器件(MEMS)物理中的双曲型方程，我们证明了该系统具有临界吸附电压现象，从而解决了学者们在该领域一个长期关注的问题：双曲型方程是否可以描述MEMS模型。并且我们从数学分析角度严格论证了双曲型模型和抛物型模型的关系。.3. 按照爱因斯坦的狭义相对论理论，宇宙中高温高速带电粒子流可以由相对论Euler-Poisson方程组来支配。我们研究了该模型静态解的稳定性，并讨论了该模型解的奇异极限问题,包括松弛极限和非相对论极限。在一定意义上，我们发现相对论Euler-Poisson方程的解收敛到半导体HD模型的解。.4. 最后，我们也考虑了其他一些重要偏微分方程的渐近极限问题。包括：带有时间退化阻尼的双曲ｐ方程组长时间渐近收敛到扩散波的问题，即达西定律；两类粘性守恒律方程（组）行波的渐近稳定性问题；复合介质上，当外层介质消失时，椭圆特征值的渐近极限问题。