不可压磁流体动力学方程的高效数值方法研究

The project will research the efficient numerical methods for incompressible Magnetohydrodynamics equations(MHD),including variational multiscale method, stabilized finite element method and non-conforming finite element method.In the case of large Reynolds number, because the richness of scales of turbulence flow,the projection-based variational multiscale method is proposed for the incompressible MHD.The stability and error estimation for the semi-discrete scheme and fully discrete scheme for the unsteady variational multiscale problem are proved, where the semi-discrete refers to the time-continuous meanwhile the spatial finite element approximation. For the steady variational multiscale problems, finite element approximation problem and its stability is considered. In order to give the error estimation based on lower-order norm, dual problem is proposed, and the Aubin-Nitsch technique is adopted also. Secondly, Three kinds of stabilization methods, i.e.,the pressure gradent, pressure-Poisson and least-square, are introduced into the incompressible MHD. Stability and error estimation theory will be derived based on the lowest equal-order interpolation for all the variables. Finally, several non-conforming finite element interpolations for the incompressible MHD are presented, and the stability and error estimation are established.

本项目研究不可压磁流体动力学方程(MHD)的高效数值方法，包括变分多尺度方法、稳定化方法及非协调有限元逼近理论。对于大雷诺数问题，由于湍流的多尺度特性，本项目首先研究定常和非定常不可压MHD方程的基于投影的变分多尺度方法。对非定常变分多尺度问题，研究全离散和半离散格式的稳定性和误差估计,这里半离散是指空间变量采用有限元离散而时间变量保持连续。对于定常的变分多尺度问题研究其有限元离散问题解的稳定性,通过构造对偶问题,利用Aubin-Nitsch技巧给出低阶范数的误差估计，并给出Newton迭代算法及其收敛性。其次，对于不可压MHD方程，构造压力梯度稳定化、压力泊松稳定化、最小二乘稳定化方法，并给出对所有未知变量采用最低阶的等阶有限元插值的稳定性和误差理论。进一步给出两水平稳定化有限元方法及其误差理论。最后，研究不可压MHD的几类非协调有限元离散的稳定性和误差估计。

磁流体力学是研究导电的流体和磁场相互作用的学科. 由于磁流体的良好的物理性质, 因此磁流体在现代工程技术中具有广泛的应用,如磁流体密封, 磁流体发电, 磁流体炼钢等. .鉴于磁流体介质在现代工程中的广泛应用, 本项目研究了不可压磁流体动力学方程的高效数值方法. 不可压磁流体力学是研究导电的不可压流体和磁场相互作用的学科, 数学上描述该问的控制方程为不可压Navier-Stokes方程与Maxwell方程的耦合方程组. 该方程是典型的非线性对流扩散方程, 研究的难点主要集中在如何处理问题中的非线性项和无散度项. 针对如上难点, 本项目主要采用了变分多尺度方法, 稳定化方法, 两水平方法进行了研究, 通过采用这些方法可以提高数值求解的有效性. 在本项目的支持下, 研究团队主要进行了如下内容的科学研究:.1, 提出了求解不可压磁流体动力学方程的一个两步方法. 该方法采用添加Bubble稳定项的Mini元与满足LBB条件的Taylor-Hood元对变分问题进行了离散, 建立了一个两步方法, 并给出了方法的稳定性和收敛性估计..2, 提出了求解不可压磁流体动力学方程的基于加罚稳定化的迭代方法, 并给出了相应的数学理论..3, 针对Brinkman-Forchheimer方程建立了加罚稳定化方法的数学理论, 另外对对流Brinkman-Forchheimer方程给出了变分问题及其数学理论..4，将变分多尺度方法, 两水平方法等应用到了自然对流问题, 并提出了基于Bubble稳定化变分多尺度方法和基于Gauss积分稳定化的两水平变分多尺度方法..5, 针对互不相容流体交界面问题的数值求解提出了相应的数值格式并建立了对应的数学理论..6, 对具有高阶耗散项的广义Ginzburg-Landau模型提出了一个格子Boltzmann方法..通过如上内容的研究, 对数值求解不可压磁流体动力学方程的建立了相应的算法, 为数值求解非线性对流扩散方程提供了理论借鉴.