奇异算子及相关半线性椭圆问题的奇性研究

In this project, we study the singularities of several kinds of singular operators and related semilinear elliptic problems, including the expression of fundamental solutions, the classification of singular solutions, the existence, uniqueness and asymptotic behaviors of singular solutions. Through the study of these issues, we hope it is able to reveal the influence of singular properties of elliptic operators on the singularities of solutions to the related elliptic equations, to find some methods and techniques that solve singular elliptic problems, and to enrich basic theory on analysis and nonlinear elliptic equations.

本项目拟研究几类奇异算子及相关半线性椭圆问题的奇性，包括基本解的表达方式、奇性解的分类以及孤立奇性解的存在性、唯一性和渐近性态等。我们希望通过对这些问题的研究，可以揭示椭圆算子的奇异性质对椭圆问题解的奇性的影响；可以得到解决一些奇异椭圆问题的方法和技巧，丰富非线性分析和椭圆方程的基本理论。

对算子及相关半线性椭圆问题的研究是建立众多现代物理模型的基本理论，如多孔介质问题、原子核模型、超导模型、涡旋理论等。本项目中我们主要讨论了奇异算子及相关的半线性椭圆偏微分问题的奇性，这里包括奇性解的分类以及孤立奇性解的存在性、唯一性和渐近性态等。具体来说，我们考虑了带Hardy算子的椭圆问题，研究了其孤立奇性解，并给出了奇性解的分类；然后我们讨论了带区域型分数阶Dirichlet问题的解；此外，我们还研究了非局部方程组，在外区域上的半线性椭圆问题，高斯曲率方程，Lane-Emden方程等等。我们通过对这些问题的研究，一方面可以揭示椭圆算子的奇异性质对椭圆问题解的奇性的影响；另一方面得到了解决一些奇异椭圆问题的方法和技巧，丰富非线性分析和椭圆方程的基本理论。