带结构的模型修正问题的数值解法、软件及应用

二次模型修正问题是计算数学中一个非常活跃的研究课题, 涉及的领域主要有航空航天、结构力学、声学、振动理论、电路模拟等。已有的大多数求解方法主要是将模型的系数矩阵作为整体进行修正，很多情况下不能满足实际需要。本项目主要研究带结构的模型修正问题。实际应用中，由于系统的内部链接结构，系数矩阵具有稀疏性并且元素为各个非负参数的组合。故对系统进行修正时就不得不考虑系统的内部结构及参数的非负性，这给反问题的理论研究和算法设计都带来了难度和挑战，相应的研究成果也较少，并且主要是针对特殊的结构，没有通用的方法。另外，受现有技术及设备的局限，获得的实验数据大都是带有误差的，进行模型修正时精确解可能不存在，考虑求基于带噪特征对信息的模型修正问题在某种度量下的最优解是很有实际意义的。对上述问题的研究我们已取得了一些结果，在此基础上将进一步研究理论、设计通用算法、证明算法的收敛性、编制相应软件并用于解决实际问题。

本项目主要研究了在航空航天、结构力学等实际应用中具有重要应用的结构模型修正问题，相比于一般的模型修正问题，该类问题具有更广泛的应用背景，但是结构的引进也使得问题的研究更加困难。. 理论方面，我们逐步引入结构约束，给出相应的数值求解方法并证明算法的收敛性。具体来说，从系数矩阵要求对称正定的经典问题出发，为避免产生额外不存在的链接首先引入稀疏性约束，利用交替投影法研究系数矩阵带有对称正定及稀疏要求的模型。进一步，为保持系统的内部结构引入链接约束，即保持系数矩阵的元素为某些物理参数的线性组合，同时为了保证系统的可用性，要求物理参数非负，结合矩阵分解理论、半定规划技术及广义Lagrange乘子法求解这类保持系统链接结构、参数非负、系数矩阵对称正定的结构模型修正问题。在应用方面，设计了实用的软件包，提供多种界面供用户输入系统的链接结构及观测数据，利用各种数值求解方法实现系统重构。对于另一类重要的二次模型：无阻尼陀螺系统，我们给出了两种求解方法，一种是构造判定矩阵的具体形式，进而基于判定矩阵与特征向量之间的关系，将部分特征向量扩充为全部的特征向量，从而实现系统的重构；另一种是交替方向法，通过引入新的变量将对应的优化问题的线性约束及锥约束分开，进一步引入增广Lagrangian函数，将一个问题转化为两个仅有一个约束的子问题进行求解，我们给出了具体的数值算法并证明了算法的收敛性。. 同伦方法是求解优化问题的一种全局收敛的有效算法，但利用同伦方法求解结构模型修正问题效率不高，问题在于需要跟踪的路径条数太多或者路径拐点太多导致跟踪效率较低。为了能够利用同伦方法有效求解此类问题，我们先研究了如何快速有效的跟踪拐点较多的曲线，给出了一种新的路径跟踪策略，并给出了一种求解线性方程组的新的迭代方法。以参数为变量的模型修正问题可看作是多项式优化问题，需要研究如何构造同伦使得需要跟踪的路径条数尽可能少。我们首先研究了一类特殊的多项式方程组：混合三角多项式方程组，构造了具有对称性的同伦，通过跟踪少量路径即可得到问题的解。. 我们也将研究结构模型修正问题中的算法应用到其他问题的求解，例如：将非负矩阵的非负秩分解问题转化为一个带有约束的极大极小值问题。将同伦方法应用于多参数特征值问题的求解，构造了简单易求的初始问题，并说明当问题维数较大时我们的方法更加行之有效。