结构多参数特征值问题的有效解法及应用

The multiparameter eigenvalue problemis an important class of eigenvalue problem, it plays an important role in the field of quantum theory and physics. The strong nonlinearity and the special structure of the coefficient matrix bring big challenge for the theoretical analysis and algorithm design. The results for multiparameter eigenvalue problemare far less than those for eigenvalue problems with single parameter. In this project, based on our research work on general multiparameter eigenvalue problem, we will continue the study on the structured multiparameter eigenvalue problem coming from many important applications. Our study consists of the following parts: 1. Characterizing the properties of eigenvalues of the structured multiparameter eigenvalue problem, especially the upper bound on the solution number and the nonsingularity of the solution; Finding the sufficient condition for the desired eigenvalue; Eliminating the bifurcation phenomenon of the homotopy paths. 2. Combining the homotopy method for polynomial system and the structure of the problem, we design the efficient homotopy that keeping the structure of the problem to find all solutions even the partial desired solutions through tracing only few paths; Exploiting the structure, we design the efficient projection methods. 3. Combing the structure of the problem, the property of the eigenvalues of the singular problem and the knowledge in algebraic geometry to prove the convergence of these methods. 4. Based the existent software, we develop it further and apply it to analyze the asymptotic stability of delay-differential equations, solve the multiparameter Sturm-Liouville problem and the structured inverse eigenvalue problem.

多参数特征值问题是一类重要的特征值问题，在量子力学、物理等领域中有着重要应用，强非线性、系数矩阵的特殊结构使得其理论研究及算法设计均具有很大挑战性，相对于单参数特征值问题，成果较少。本项目将在前期对一般问题的研究基础上，进一步研究实际应用驱动的带有特殊结构的多参数特征值问题。内容主要包括：1、深入刻画结构问题解的性质，尤其是退化问题解的个数上界及非奇异性等；寻求指定特征值需要满足的条件；解决同伦路径分歧问题。2、引入求多项式组同伦方法并结合问题结构，设计保结构的同伦方法求全部解甚至只需通过跟踪部分路径求有意义的指定解；利用问题的结构，构造高效的投影方法。3、结合问题的结构、数值代数中退化问题的特征值性质及代数几何相关知识证明方法的收敛性。4、在已有软件包基础上进一步开发，并应用于延迟微分方程渐进稳定性分析、多参数Sturm-Liouville问题数值求解及结构二次特征值反问题求解等。

本项目主要研究在力学、物理学等理论领域及信号处理、振动等应用领域中都具有重要应用的结构多参数特征值问题及其相关问题的数值求解及应用。结构的引进使问题具有更广泛的应用背景，但也给问题的研究带来更多困难。.对于模型修正问题及非线性多参数特征值问题线性化后对应的奇异多参数特征值问题，我们引入代数几何相关知识解决了奇异特征值的代数刻画问题。算法方面，给出了带有Kronecker积的行列压缩方法和Jacobi-Davidson方法，数值试验结果表明较基于广义逆的算法，此两类算法更加行之有效。在此基础上，对于二次两参数特征值问题，我们引入代数几何中的多重齐次Bezout数给出了解个数上界的更精细的刻画。进一步，借助随机乘积型同伦的构造思想，不将问题线性化，直接构造二次初始方程组用于求解问题，并结合数值代数、代数几何和图论相关知识给出了算法的收敛性证明。直接同伦方法是线性化方法的有效补充，在求解大规模问题时更加有效，而线性化方法求解中小规模问题时更加有效。.对于带有右定性、稀疏结构的多参数特征值问题，我们证明了特征值均为实数并且可按各个分量排序。算法方面，构造了实同伦避免复数运算，从而大大降低了问题的计算复杂性。同时构造了保结构的实同伦方法，使得在路径跟踪过程中可以通过仅仅跟踪一条路径即可得到问题的指定解。.借助结构多参数特征值问题涉及的算法，尤其是矩阵分解的相关方法及非线性方程组的同伦方法，我们也解决了一些相关问题，主要是张量低秩逼近问题。对于秩一逼近问题，我们借助奇异值分解、投影技巧获得了更优的解。对一般CP低秩逼近问题，若同时更新两个矩阵，则对应于一个多项式方程组求解问题，我们利用同伦方法给出了问题解个数的精确估计并求出全部复数解。对实问题，引入极分解和交替投影法获得了问题的更优的任意秩逼近，并借助前面的相关理论给出了算法的收敛性证明。