带Toeplitz结构的线性方程组的数值解法及其应用

In this project, based on the previous works of the applicant and other experts, we plan to study fast numerical solutions of linear systems with Toeplitz structure and their applications, including theoretical research of preconditioning conjugate gradient method for ill-conditioned BTTB linear systems, fast computing of inverses and determinants for banded Toeplitz or BTTB matrices etc., and their applications in numerical solutions of integral equations and fractional diffusion equations, and in signal decomposition. The research of this project not only has important theoretical significance in the study of numerical algebra, but also has abroad application prospect in engineering and finance.

本项目拟在前人研究及申请人的前期研究的基础上，研究带Toeplitz结构的线性方程组的快速解法及其应用。研究内容包括病态BTTB系统预处理共轭梯度法的理论研究、带状Toeplitz 、BTTB矩阵的快速求逆及求行列式等，以及它们在积分方程和分数阶扩散方程、信号分解上的应用。本项目研究不仅在数值代数的理论研究上有重要的理论意义，更在当前热点的工程、金融领域有较为广泛的应用前景。

本项目拟在项目负责人前期工作的基础上，进一步探索带Toeplitz结构的线性方程组的理论、算法以及它们在积分方程、分数阶扩散方程和信号分解上的应用。在本项目的支持下，项目组成员主要研究并解决了如下问题：.（i）通过Toeplitz预处理方法获得求解带有小参数的Love方程的快速有效的新算法；.（ii）通过带状Toeplitz矩阵的生成函数的分解获得一个计算带状Toeplitz矩阵的行列式和逆的一个新的稳定、快速有效的算法；.（iii）通过更为简单的原理，构造了新的有效的Toeplitz迭代滤波器用于在经验模态分解中分解出固态模函数；.（iv）研究了压缩感知下的图像加密技术；.（v）获得此前得到的关于Steklov特征值迹估计的等式刻画，进一步研究了图上的谱分析，尤其是Steklov特征值，获得了关于图上特征值的若干有趣结论。.（vi）在本项目的执行过程中，项目负责人的研究兴趣逐渐拓宽，解决了若干在研究过程中的问题，研究了闭图函数的连续点问题和逆紧映射的满射性及格代数的结构。. 在项目组成员的共同努力下， 项目组共完成学术论文12篇，其中6篇发表于国际权威期刊，2篇发表于国内中文期刊，4篇在审稿当中。另外还有数篇论文尚在整理当中。本项目研究内容（i）、（ii）、（iii）、（iv）具有一定的应用前景，研究内容（v）、（vi）具有一定的理论意义。