顶点算子代数与无穷维李代数的若干问题的研究

On the basis of the National Natural Science Foundation for Youths, we will go on to study the rationality and the classification of irreducible modules of parefermion vertex operator algebras associated to integrable highest weight modules for any affine Kac-Moody algebra; determine the automorphism groups of parefermion vertex operator algebras associated to integrable highest weight modules for affine Kac-Moody algebras of type B_n, C_n and F_4. And we will study the vertex operator representations of extended affine Lie algebras and some other infinite dimensional Lie algebras, and moreover, the relationship between these Lie algebras and vertex operator algebras. We will also study the classification problem of irreducible integrable modules for the extended affine Lie algebras with alternative tori as coordinate algebra. Solving these problem will enrich the theory of vertex algebras, and provide an efficient tool for the structure and representation theory of extended affine Lie algebras, and at the same time, will enrich the study of high-dimensional conformal field theory.

本项目将在青年科学基金项目关于parafermion顶点算子代数的结构和表示的前期研究基础上进一步研究仿射李代数的可积最高权模决定的parafermion顶点算子代数的有理性及不可约模的分类; 确定B_n, C_n, F_4型仿射李代数的可积最高权模决定的parafermion顶点算子代数的自同构群. 研究高维仿射李代数等无穷维李代数的顶点算子表示问题及这些李代数与顶点算子代数的联系. 还将研究以交错环面为坐标代数的高维仿射李代数的权空间有限维的不可约可积模的分类和构造问题. 这些问题的解决既丰富了顶点代数理论, 又为研究高维仿射李代数等无穷维李代数的结构及表示提供一个有效的工具, 同时也将丰富高维共形场理论的研究.

扩张仿射李代数是有限维单李代数和仿射Kac-Moody代数的高维推广。Toroidal李代数是扩张仿射李代数中最简单也是最重要的一类。顶点代数是物理中2维共形场论的代数结构。建立多变量顶点代数理论，并建立它与扩张仿射李代数的联系，以及用多变量顶点代数理论去研究扩张仿射李代数中toroidal李代数的表示是我们研究的主要工作之一。建立其他量子代数如: Clifford-like代数，unitary 李代数，q-Virasoro代数与顶点代数及量子顶点代数的联系是我们研究的另一个主要工作。我们还对coset顶点算子代数的结构和表示问题进行了研究。主要结果包括：建立了toroidal顶点代数的扭模理论，从而把几乎所有的扩张仿射李代数与toroidal顶点代数建立联系，进一步给出单toroidal顶点代数的刻画及它不可约模的分类。建立了unitary李代数，q-Virasoro李代数与$Gamma$-顶点代数的联系。确定了A_1^{(1)}型parafermion顶点算子代数的量子维数和fusion rule. 确定了parafermion顶点算子代数的自同构群。给出toroidal李代数的$\phi$-imaginary模的构造及它不可约模的判定条件。给出环面李代数半直积它的斜导子李代数的泛Whittaker模的Z-分次不可约模。