顶点算子代数理论及李代数的表示

This project will study the structure and representation theory of vertex operator algebras and Lie algebras. There will be three major underlying themes in the project. First, we will continue our study on classification of rational vertex operator algebras of central charge 1. Classification of rational vertex operator algebras is one of the most important and hardest questions in the theory of vertex operator algebras. Our goal is to classify all the rational vertex operator algebras of central charge 1. Secondly, we will study twisted representations of vertex operator algebras. Given a vertex operator algebra V and an automorphism T of it with finite order, how to construct T-twisted V-modules has always been an open problem in the theory of vertex operator algebras. Up to now, even for an automorphism of order 2, there is no general method to construct twisted modules, except for a few classes of vertex operator algebras. We expect to make some breakthrough in this field. Finally, this project will study non-local vertex algebras, especially quantum vertex algebras. Our goal is to give good examples of quantum vertex algebras and establish a theory of quantum affine vertex algebras associated to quantum affine Lie algebras.

本项目对顶点算子代数结构与表示理论中的一些基本问题开展研究。主要研究内容如下： 1. 在前期研究的基础上，继续central charge为1的有理顶点算子代数的分类工作，完成对central charge为1的顶点算子代数的完全分类，有理顶点算子代数的分类是顶点算子代数理论中最重要和最为困难的研究问题之一。2. 对顶点算子代数的twisted表示进行深入研究。给定一个顶点算子代数V和V的一个自同构T，怎样构造出V的T-twisted表示，一直是顶点算子代数理论中没有解决的公开问题。目前甚至对最为简单的二阶自同构，除了几类特殊的顶点算子代数外，都没有一个可行的一般构造办法，我们希望在这方面会有实质性突破。3. 对non-local顶点代数开展研究，特别是量子顶点代数的研究，我们的目标是给出量子顶点代数的好的例子，实现量子仿射代数与量子顶点代数的对应。

有理顶点算子代数的分类是顶点算子代数理论中的基本问题，我们对central charge为1的有理顶点算子代数进行了深入研究，使central charge为1的有理顶点算子代数的分类有了根本性突破（见[Dong-Jiang, J. Reine Angew. Math.，2015], [Dong-Jiang-Jiang-Jiao-Yu, J. Alg. 2015]。张量积分解是数学研究中的核心内容，我们对A1型仿射顶点算子代数的张量积分解及Coset顶点算子代数进行了深入研究，证实了Lam-Sakuma关于Coset顶点算子代数的模的分类的猜想，并证明对任意高次的张量积分解，coset顶点算子代数均为有理的（见文[Jiang-Lin, Adv. Math. 2016])。进一步地，我们对一般A_n型仿射顶点算子代数的张量积分解进行了研究，通过证明coset顶点算子代数实质上是一个广义Parafermion代数，我们给出了关于一般A_n型有理仿射顶点算子代数的张量积分解的Schur-Weyl对偶（研究结果见：[Jiang-Lin， arXiv： 14064191] )，并对正交型仿射顶点算子代数的张量积分解进行了研究，给出了Schur-Weyl对偶（见[Jiang-Lam, arXiv: 1703.04889])。我们讨论了量子顶点代数及其 $\phi$- coordinated 模与带中心的仿射无穷秩一般线性李代数之间的自然联系（见Jiang-Li, J. Alg. 2014）。我们讨论了顶点算子代数理论中的Jacquet算子和范畴理论，建立了coset顶点算子代数与Jacquet算子之间的联系（见姜-林，《中国科学》， 2017）。我们利用前期工作中给出的Level-rank对偶，对一类AcCoset顶点算子代数开展了研究，给出了这一类coset顶点算子代数的生成元的具体表示，并在此基础上给出了Kac-Wakimoto-Frenkel关于一类ADE型仿cCoset顶点算子代数与一类W代数的同构猜想的A2情形的证明（见Jiang-Arakawa, Science China, 2017)。