函数空间与积分算子理论中若干问题的研究

Main Research Goal：By studying function spaces of Besov-type and Triebel-type associated with some unit decomposition of frequency space and integral operators on these spaces, we are planning to set up a new kind theory of function spaces and integral operators.Furthermore, we are trying to find some new approaches to problems of Lusin's conjecture-type and well-posedness of some important PDEs...Main Research Topics：(1). By combining unit decomposition of frequency space with Lp and lq spaces, we try to construct and find some new interesting function spaces,and further study their properties. (2). We plan to study boundedness of some important integral operators on these new type spaces, which are originally not bounded on some Lebesgue type spaces. And furthermore, we plan to find some new approach to study problems of Lusin's conjecture type. (3). On the base of the study of boundedness of operators on these new type spaces, we try to find some new approach .to well-posedness of nonlinear PDEs. (4). Try to solve some of Liflyand's open problems on Hausdorff operators.

主要研究目标：通过对频率空间单位分解产生的Besov型与Triebel型函数空间及其上的积分算子的研究，建立一套更为广泛的新型函数空间理论以及其上的积分算子理论，并通过这套理论探讨Lusin猜测型问题与PDE适定性问题研究的新路子，以求得到新突破。..主要研究内容：(1).通过对频率空间的单位分解结合Lp与lq，引进Besov型与Triebel型函数空间，发现与构造出有意义的新型函数空间，进而研究这些函数空间的性质及相互关系。(2).拟研究一些重要的积分算子在新型函数空间上的有界性，这些算子原本在Lp上的有界性对指标p有限制，进而探索研究高维Lusin猜测的新路子。(3).拟在新型函数空间及其上积分算子研究的基础上，探索若干非线性PDE适定性问题研究的新路子。(4)、将针对Liflyand的系列公开问题开展深入研究，期望能就其中若干问题的研究取得突破性进展。

本项目主要研究由频率空间一致分解引入的Besov型与Triebel型函数空间的性质、经典积分算子在这类空间上的有界性、这类空间在PDE研究中的应用以及一些相关问题等，取得了系列重要成果。. 在学术研究方面，较为系统地研究了若干重要积分算子的多种有界性，诸如Hausdorff算子、双线性算子、强奇性奇异积分算子等积分算子的有界性以及若干交换子的紧性等，特别是通过振荡积分的精细估计建立了多种幺模乘子半群在模空间上算子范数的衰减估计并用来处理相应的非线性偏微分方程边值问题的适定性；较为系统地研究了多种模空间的空间性质，特别是给出了Triebel型模空间的性质、-模空间的插值性质等；较为系统地研究了多类非线性偏微分方程边值问题的适定性，特别是通过构造一类形式解建立了Schrödinger方程在几类具有更广泛意义的空间上（包括，Triebel型空间，模空间，频率空间等）的局部适定性及小初值的整体适定性等、通过建立非整数幂函数|u|au的模空间估计的代数性质给出了带非线性项|u|au的非线性 Klein-Gordon方程Cauchy型边值问题的适定性等。已在诸如《Journal of Functional Analysis》、《Science China - Mathematics》、《Nonlinear Analysis - TMA》与《Nonlinear Analysis - RWA》等重要数学刊物上正式发表了五十多篇学术论文（其中SCI刊物论文40多篇）。. 在学术交流方面，主办了或参与主办了国内与国际学术会议6个，特别是在2012年底（由本项目规划支持）在浙师大主办了一个由20多个国家与地区的专家学者参与的、有200多人规模的大型国际调和分析及其应用学术会议；项目组成员邀请来访交流做学术报告有50多人次，外出参加学术会议等活动的也有几十次。.在人才培养方面，培养博士后6人、博士生14人、硕士生8人。