若干与鲁津型猜测相关联之问题的研究

This project plans to mainly study the following problems: (1). boundedness of maximal operators related to integral means, especially Zygmund conjecture and Soria conjecture on strong maximal operators; (2). restriction theorems of Fourier transform on low dimension surfaces, especially curves; (3). local smoothing estimates related to different equations and different spaces; (4). boundedness of operators related to Bochner-Riesz mean. We hope to contribute to the four famous conjectures (Bochner-Riesz conjecture, Kakeya conjedture, Fourier restriction conjecture and local smoothing conjecture), at least, we shall try our best to obtain some important achievements on the above four topics.

本项目拟围绕Lusin猜测型问题这一主线，就与Bochner-Riesz平均、积分平均极大算子、Fourier变换在低维曲面上的限制以及波方程解的局部光滑性等有关的若干问题展开研究，包括: (1). 与积分平均相关的极大算子的研究，特别是有关类似强极大算子的Zygmund猜测与Soria猜测；(2). 高维Fourier变换在低维曲面特别是曲线上限制的限制性定理；(3). 与局部光滑性猜测相关的问题，诸如局部光滑性估计中函数空间更换、方程更改后，相应的局部光滑性估计是否成立等；(4). 与Bochner-Riesz平均相关的问题的研究，我们重点考虑若干重要积分算子的有界性。我们希望能为四大重要猜测（Bochner-Riesz猜测、Kakeya猜测、Fourier限制性猜测、局部光滑性猜测）的解决做些贡献，但至少我们会力争与它们有关联的问题的研究上有所突破。

本项目主要开展对调和分析中两类问题的研究。一是对一些重要积分算子有界性的研究，诸如Bochner- Riesz平均、积分平均极大算子、低维曲面上的积分算子、交换子以及其它相关联的积分算子在不同函数空间上的有界性；二是对一些重要微分方程适定性的研究，诸如NLKG方程、Navier-Stokes方程、Euler方程等多种不同类型的适定性问题。本项目建立了Bochner-Riesz算子的交换子在适当指标范围内在 空间上的紧性；沿凸曲线以及变well-curved曲线的超奇性Hilbert变换在一定指标范围内在 空间上的有界性；Hausdorff算子 在一维时在Hardy空间上有界有关函数 的充要条件。本项目用一种新方法解决了非线性函数 在模空间上估计的一个公开问题（实值情况下 非整数的情形），进而建立了带非线性项 的非线性 Klein - Gordon方程Cauchy问题在模空间上的适定性；对带色散项的超临界SQG方程解的整体适定性有关的一个公开问题做了推进，等等。项目按计划顺利完成了预定的研究任务，达到了预定的学术研究、学术交流、人才培养等目标。已在诸如《Science China - Mathematics》、《Michigan Mathematical Journal》、《Nonlinear Analysis - TMA》、《Nonlinear Analysis - RWA》等重要数学刊物上正式发表了二十多篇学术论文，这些成果解决或推进解决若干重要的公开猜测，推进了调和分析及有关领域的学术进步。此外，合作创办了一个数学期刊；主办了国内与国际学术会议6个；项目组成员邀请来访交流做学术报告有保存记录的就有50 多人次，外出参加学术会议等活动的也有几十次；培养出站博士后1 人，毕业博士生3人、硕士生11人，目前在站博士后2人，在校博士生7人、硕士生6人。通过项目的研究，还促进了数学人才的培养以及学术氛围的提升。