函数空间与逼近理论中若干问题的研究

在一些函数空间内研究宽度理论与极值问题这一函数逼近理论中的重要课题，对一些重要函数类的各种宽度进行渐近估计和精确估计，找出相应的极子空间并建立相应的对偶定理，用泛函分析的思想和方法揭示不同提法的极值问题与宽度理论之间的联系；同时还要在一些函数空间内研究有关的算子逼近、插值逼近、有理逼近等逼近论的问题，得出相应的正定理、逆定理、Jackson型估计等结果，在此基础上还要研究有关的一些神经网络问题。数学物理中的好多近似求解问题是函数逼近理论的直接背景，而函数逼近理论研究的理论成果可以为数学物理问题的近似求解以及选择"最优的"求解方案提供理论分析依据。所以，这一项目是既有学术意义又有实际背景和应用前景的研究课题。

基于连续函数空间和Lp空间内研究函数逼近问题的思想，本项目瞄准了对非线性问题具有重要而广泛应用的一个函数空间（Orlicz空间），利用泛函分析的方法在Orlicz空间内研究了诸多函数逼近的问题，取得了一批较好的结果。所得的结果主要表现在Orlicz空间内某些重要函数类的宽度估计、最佳逼近、线性算子逼近、有理逼近、插值逼近、多项式逼近等方面，有些结果（数据）推广和改进了前人的结果。从学科发展的趋势来看，在一些重要的函数空间内研究有关逼近问题，正在成为基础数学、计算数学和应用数学的一个很好的结合点。而在Orlicz空间这个对非线性问题具有广泛应用的函数空间内的逼近问题至今很少有人涉足，所以，本项目的研究工作具有开创性。从本项目研究的内容和结果看，这些工作丰富了函数逼近论的理论和内容，为在Orlicz空间内研究函数逼近问题以及宽度问题奠定了理论依据和方法基础，同时也在这一具体的函数空间内逼近理论的进一步发展做出了积极的贡献，所建立的理论和采用的研究方法为后来者在这一函数空间内开展逼近理论的研究奠定了基础。由于本项目的研究工作和数学中的一些其它分支（如数值分析，优化，控制等）关系密切，再加上Orlicz空间有很深的应用背景，因此，本项目的研究工作具有广泛而潜在的应用价值。