非线性退化双曲方程及其应用

Nonlinear degenerate hyperbolic equations （systems） are important research areas for partial differential equations. Study on their initial boudary value problem is full of meanings in mathematical theory and also have important applications in gas dynamics, elacticity and electromagnetism. Typical representations of equations of degenerate type are Tricomi type equations, Vishik-Grushin type equations and compressible Euler equations containing sonic degeneracy. This project focuses on the following problems: (1) The well-posedness of the initial boundary value problems of Vishik-Grushin type equations in L^2. (2) The well-posedness of the initial boundary value problems of Vishik-Grushin type equations in the Holder-Zygmund spaces. (3) Compressible Euler equaions in de Lavel nozzel with local supersonic region.

非线性退化双曲方程（组）是偏微分方程中的重要研究领域，关于它们初边值问题适定性的研究，不但有着重要的数学理论意义，而且在空气动力学、弹性力学和电磁学等学科中有着重要的应用。退化双曲方程（组）的典型代表是Tricomi型方程、Vishik-Grushin 型方程和含声速退化的可压缩Euler方程组。 本项目将围绕如下问题进行：(1) 研究Vishik-Grushin 型方程初边值问题$的L^2$适定性。 (2) 研究Vishik-Grushin 型方程初边值问题在Holder-Zygmund空间上的适定性。 (3）研究在de Lavel管道局部超音速部分的可压缩Euler方程组。

非线性退化双曲方程是偏微分方程中的重要研究领域，数学理论上十分有意义，而且与空气动力学、弹性力学和电磁学等学科中有着紧密联系。在本项目中，我们充分利用深入的调和分析以及微局部分析的工具并进一步发展退化的拟微分算子和退化的Fourier积分算子等理论，在关于非线性退化双曲方程的研究中取得了以下进展：1) 得到了一类具有完全特征边值的退化双曲边值问题在渐近Sobolev空间上的解的适定性。2) 得到了半线性Tricomi型退化双曲方程在具有最低H^s正则初值时的解的适定性。Tricomi型算子是变系数退化微分算子Vishik-Grushin型算子的一个特例。Tricomi算子最初来源于连续跨音速动力学中的等熵无旋流体问题，Tricomi问题的解有助于确定de Laval管道中的音速线。3) 得到了Vishik-Grushin型退化双曲方程余法解的适定性。我们的工作极大地发展了奇性分析的方法。克服了方程的退化性和解的低正则性等困难。. 本项目也对有粘零电阻率的可压缩磁流体力学(MHD)方程组初边值问题等进行了研究。得到了1维时MHD方程组的全局解和长时间行为以及在L^2和H^1范数下的指数衰减；得到了在2维时完全MHD方程的全局解等。