李代数的微分算子表示

李代数是研究对称性的基本工具，而对称性的内涵常由李代数的表示来体现。现有的李代数的表示理论主要是较为抽象的最高权表示理论，它一般不能同时给出完整的表示公式和不可约表示的基。从可应用角度，我们更有必要研究李代数在函数空间的自然表示，尤其是多项式空间上。本课题是要研究多项式空间上有限维单李代数，有限维单李超代数，仿射李代数和仿射李超代数的自然微分算子表示的结构。研究结果将对几何，偏微分方程和量子物理有用。

李代数的微分算子表示在数学的许多领域和物理有广泛应用。本课题确定了典型李代数和李超代数的非典型微分算子表示的结构，得到了多族新的无限维 不可约显式表示。同时也推广了调和多项式基本定理。对一般线性李超代数和正交辛李代数，我们得到了超对称的调和多项式基本定理以及其非典型推广。我们的结果可用特殊的Howe对偶性来解释。另外，我们利用李群分式表示所对应李代数非齐次微分算子表示和沈光宇的混合积构造了不同有限维单李代数模范畴间的新函子并确定了其不可约性。进一步把这些微分算在作用在更广的函数上，我们得到了有限维单李代数在指数多项式函数上的不可约表示。而将这些微分算子做非典型形变，我们得到了更多的权子空间维数有限的无限维不可约模。